Momente

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Einleitung[Bearbeiten]

Diese Seite zum Thema Momente kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Definition von Momenten
  • (2) Erwartungswert
  • (3) Varianz

Motivation - Erwartungswert[Bearbeiten]

Vorbemerkung: Zwei Personen und vereinbaren ein Würfelspiel.

  • Ausgang '1': zahlt an 5€
  • Ausgang '2', ..., '6': zahlt an 1€

Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von :

("faires Spiel").

Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße[Bearbeiten]

In der obigen Gleichung

setzen sich die einzelnen Terme (z.B. ) aus dem Wert der Zufallsgröße und der Wahrscheinlichkeit für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen.

Definition - Erwartungswert[Bearbeiten]

Sei eine auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum definierte Zufallsvariable, dann heißt

Erwartungswert von , vorausgesetzt, dass .

Bemerkung - Anzahl Summanden[Bearbeiten]

Die Zufallsgröße nimmt nur zwei Werte an, nämlich für und für . Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da .

Bemerkung - Notation zum Beispiel[Bearbeiten]

Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren:

Bemerkung - Erwartungswert[Bearbeiten]

Die Reihe hat nur abzählbar viele Elemente mit . Mit ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle und werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht.

Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen[Bearbeiten]

Bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion von auf , so gilt für eine auf definierte Zufallsvariable :

(sofern ).

Beweis[Bearbeiten]

Es ist

Bemerkung zum Beweis[Bearbeiten]

In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist.

Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes[Bearbeiten]

Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man:

  • besitzt einen Erwartungswert, oder
  • der Erwartungswert von existiert.

besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls .

Endlicher Ergebnisraum[Bearbeiten]

Dies ist bei endlichen immer der Fall.


Schreibweise[Bearbeiten]

Statt auch oder , wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß der Erwartungswert berechnet wurde.

Elementare Folgerungen[Bearbeiten]

Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: , falls für alle gilt.

Beispiel[Bearbeiten]

Ist , und ist die Gleichverteilung auf , so lautet der Erwartungswert

("arithmetisches Mittel").

(Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.)

Beispiel[Bearbeiten]

Für die Indikatorvariable eines Ereignisses gilt:

Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz.

Satz - Linearität des Erwartungswertes[Bearbeiten]

Besitzen die Zufallsvariablen Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen , und es gilt:

("Linearität")

Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes[Bearbeiten]

Für ein -verteiltes gilt:


Beweismöglichkeiten[Bearbeiten]

1.

2. Für die Binominalverteilung gilt mit . Dann ist

(wg. Linearität).

Der Erwartungswert von Funktionen einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt.

Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen[Bearbeiten]

Ist Zufallsgröße auf und eine Abbildung, dann gilt

(Falls die Reihe absolut konvergiert).

Beweis[Bearbeiten]

(Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Beispiele[Bearbeiten]

Gemäß der Behauptung gilt z.B.

Mit erhält man
Mit erhält man

usw.

Bemerkung[Bearbeiten]

Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als schreiben.
In der Tat, ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf und wird als Zufallsvariable auf aufgefasst:

Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen[Bearbeiten]

Die Zufallsvariablen mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch einen Erwartungswert und es gilt

Beweis (i.1)[Bearbeiten]

Zur Existenz von :

Beweis (i.2)[Bearbeiten]

(Reihe links oben also absolut konvergent.)

Beweis (ii)[Bearbeiten]

Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert:

Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)).

Bemerkung[Bearbeiten]

1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen mit existierenden Erwartungswerten:

2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus nicht notwendigerweise .

Bedingter Erwartungswert (Definition)[Bearbeiten]

Sei diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und mit . Dann heißt

der bedingte Erwartungswert von unter (der Bedingung) .
[ ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf unter .]

Formeln zu Berechnung[Bearbeiten]

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Da absolut konvergiert, so auch ; also existiert .
  • Spezialfälle:
  • Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art , Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden).

Momente[Bearbeiten]

In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert als Spezialfall von Momenten betrachtet, die im Folgenden definiert werden.

Definition - Momente[Bearbeiten]

Es sei eine Zufallsvariable und eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung von oder kürzer als -tes Moment von den Erwartungswert der ‑ten Potenz von (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

und als -tes absolutes Moment von wird der Erwartungswert der -ten Potenz des Absolutbetrages von bezeichnet:

Bemerkung - nichtganzzahlige Momente[Bearbeiten]

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung betrachtet.

Bemerkung - Existenz von Momenten[Bearbeiten]

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.


Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung[Bearbeiten]

Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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