Kurs:Stochastik/Galtonbrett/Konzept

Konzept

Das Galtonbrett besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von Hindernissen, an denen eine von oben eingeworfene Kugel jeweils nach links oder rechts abprallen kann. Nach dem Passieren der Hindernisse werden die Kugeln in Fächern aufgefangen, um dort gezählt zu werden.

Das Galtonbrett simuliert ein physikalisches Messgerät, dessen Messwert verrauscht ist. Die horizontale Position der Kugel ist dabei der zu messende Wert, der am oberen Eingang noch exakt vorliegt, während er unten in einem der Fächer durch ein Rauschsignal verändert wurde. Die Hindernisse symbolisieren dabei kleine Störungen, die den Messwert positiv oder negativ beeinflussen können. In der Summe können sie zu einer größeren Störung anwachsen, sich aber auch zu Null addieren. Die Füllhöhen der Fächer geben am Ende Auskunft über die Häufigkeitsverteilung der verschiedenen Stärken der aufsummierten Störungen. Bei realen Messungen entspricht das zum Beispiel der Rauschverteilung eines elektrischen Signals, verursacht durch sehr viele sehr kleine Störsignale, die genauso positiv wie negativ beitragen können. Ein grundlegendes mathematisches Gesetz, der zentrale Grenzwertsatz, garantiert, dass eine nahezu beliebig zusammengesetzte Verteilung solcher sehr kleinen und sehr zahlreichen Einzelstörungen in der Summe gegen die glockenförmige gaußsche Normalverteilung konvergiert. Sind die Voraussetzungen für eine solche Rauschverteilung erfüllt, spricht man von gaußschem Rauschen. Bei einer endlichen Zahl von Störungen, wie beim Galtonbrett, erhält man die Binomialverteilung, die im Grenzwert vieler Störungen und vieler Fächer ebenfalls gegen die Normalverteilung konvergiert. Die statistischen Gesetzmäßigkeiten eines solchen zufälligen Messrauschens können anhand des Galtonbretts auf anschauliche Weise studiert und überprüft werden.

Aufgabe

• Versuchen Sie Hypothesen zu formulieren, die bei Lernenden auftreten können und nicht zu der Binomialverteilung führen! Berücksichtigen Sie dabei die Verteilungsannahme an einem Hindernis und der Wahrscheinlichkeit, dass der rechte Weg und linke Weg jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p_{R}:=p_{L}:=0,5$ auftritt.