Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert

Lineariät

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und die Zufallsgrößen $X_{1}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ und $X_{2}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ gegeben, dann ist der Erwartungswert linear:

• (Homogenität) $E(c\cdot X_{1})=c\cdot E(X_{1})$ für alle $c\in \mathbb {R}$
• (Additivität) $E(X_{1}+X_{2})=E(X_{1})+E(X_{2})$

Beweis

Die Homogenität und Additivität erhält man wie folgt $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$.

• Einsetzen der Definition des Erwartungswertes
• Verwendung des Erwartungswertes mit der Summierung über $\omega \in \Omega$.

$E(X):=\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X(\omega )$

Die Mengenklammern in $P(\{\omega \})$ sind erforderlich, weil $P$ als Definitionsbereich ${\mathcal {S}}$ und nicht $\Omega$ besitzt.

Beweis Teil 1: Homogenität

Sei $c\in \mathbb {R}$ beliebig gewählt und $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ ein Zufallsgröße:

$E(c\cdot X){\stackrel {Def}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot c\cdot X(\omega ){\stackrel {DG}{=}}c\cdot \sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X(\omega ){\stackrel {Def}{=}}c\cdot E(X)$

Beweis Teil 2: Additivität

Seien $X_{1}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ und $X_{2}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ zwei Zufallsgrößen:

$E(X_{1}+X_{2}){\stackrel {Def}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot (X_{1}+X_{2})(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot (X_{1}(\omega )+X_{2}(\omega ))$

$\ {\stackrel {AG/KG}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{1}(\omega )+P(\{\omega \})\cdot X_{2}(\omega ))$

$\ {\stackrel {DG}{=}}\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{1}(\omega )+\sum _{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})\cdot X_{2}(\omega ){\stackrel {Def}{=}}E(X_{1})+E(X_{2})$

Aufgabe

• Beweisen Sie die Linearität des Ewartungswertes für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte $p:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}$!

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