Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert

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Lineariät[Bearbeiten]

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und die Zufallsgrößen und gegeben, dann ist der Erwartungswert linear:

  • (Homogenität) für alle
  • (Additivität)

Beweis[Bearbeiten]

Die Homogenität und Additivität erhält man wie folgt .

  • Einsetzen der Definition des Erwartungswertes
  • Verwendung des Erwartungswertes mit der Summierung über .

Die Mengenklammern in sind erforderlich, weil als Definitionsbereich und nicht besitzt.

Beweis Teil 1: Homogenität[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt und ein Zufallsgröße:

Beweis Teil 2: Additivität[Bearbeiten]

Seien und zwei Zufallsgrößen:

Aufgabe[Bearbeiten]

  • Beweisen Sie die Linearität des Ewartungswertes für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte !

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