Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{2}
Elemente in allgemeinen Moduln können im Gegensatz zu Vektoren manchmal durch Multiplikation eines von $0$ verschiedenen Ringelementes annulliert werden. Dies führt zu folgenden Definitionen.
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputfaktbeweis
{Modultheorie/Ideale_sind_Untermoduln_des_Ringes/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Es sei
\mathl{T\subseteq R}{} eine Teilmenge der Grundmenge von $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
von $R$, wenn $T$ ein
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
des
$R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{}
$R$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus den Definitionen.
\zwischenueberschrift{Annullator}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zu einem festen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Ann}
_{ R } { \left( x \right) }
}
{ =} { { \left\{ r \in R \mid rx = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Annullator}{}
von $x$. Die Menge aller
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die $M$ annullieren, für die also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rx
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, heißt
\definitionswort {Annullator}{}
\mathl{\operatorname{Ann}
_{ R } { \left( M \right) }}{.}
Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Ann}
_{ R } { \left( M \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gibt es also außer $0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt $M$
\definitionswort {treu}{.}
}
Die Annullatoren
\mathl{\operatorname{Ann}_R(x)}{} und
\mathl{\operatorname{Ann}_RM}{} sind Ideale, weil Vielfache und Summen von annullierenden Elementen ebenfalls annullieren. Aus der Definition folgt direkt
\mathl{\operatorname{Ann}_RM = \bigcap_{x\in M}\operatorname{Ann}_R(x)}{} und die Beziehung
\mathl{\operatorname{Ann}_RR/I = I}{} für ein Ideal $I$ im kommutativen Ring $R$ ist auch klar. Für von einem Element erzeugte Ideale
\mathl{Rx_1}{} lässt sich auch
\mathl{Rx_1 \cong R/\operatorname{Ann}_R(x_1)}{} leicht nachvollziehen.
Nun sollen ein paar einfache Zusammenhänge zum Annullator festgehalten werden.
\inputfaktbeweis
{Kommutative_Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator_Schnittmenge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{} mit der
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mathl{M = \bigoplus_{i\in I}M_i}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Annullatoren}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Ann}_RM = \bigcap_{i\in I}\operatorname{Ann}_RM_i} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{a\in\operatorname{Ann}_RM}{.} Es sei
\mathl{i\in I}{} und
\mathl{x_i\in M_i}{.} Weil $x_i$ als Element in $M$ aufgefasst werden kann ist $ax_i = 0$. Daher ist
\mathl{a\in\operatorname{Ann}_RM_i}{} für alle
\mathl{i\in I}{.}
Es sei umgekehrt
\mathl{a\in\operatorname{Ann}_RM_i}{} für alle
\mathl{i\in I}{.} Es sei
\mathl{x\in M}{.} Weil
\mathl{M = \bigoplus_{i\in I}M_i}{} gibt es eine Darstellung
\mathl{x = \sum_{i\in J\subseteq I}x_i}{,} mit
\mathl{x_i\in M_i}{} und $J$ endlich. Daher ist
\mathl{ax = \sum_{i\in J\subseteq I}ax_i = 0}{.} Deshalb ist
\mathl{a\in\operatorname{Ann}_RM}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative_Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $U$ ein
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
von $M$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die zugehörigen
\definitionsverweis {Annullatorideale}{}{}
\mathdisp {(\operatorname{Ann}_RU)\cdot(\operatorname{Ann}_RM/U)\subseteq \operatorname{Ann}_RM\subseteq (\operatorname{Ann}_RU)\cap(\operatorname{Ann}_RM/U)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{a \in \operatorname{Ann}_RU}{} und
\mathl{b\in \operatorname{Ann}_RM/U}{.} Es sei
\mathl{x\in M}{} und
\mathl{[x]}{} die
\definitionsverweis {Restklasse}{}{} von $x$ in
\mathl{M/U}{.}
Es gilt
\mathl{b[x] = 0}{,}
\mathl{bx}{} ist daher nach Definition der
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} in $U$ enthalten. Damit ist aber
\mathl{abx = 0}{.} Deshalb liegt
\mathl{ab}{} in
\mathl{\operatorname{Ann}_RM}{.} Daher ist insgesamt
\mathl{(\operatorname{Ann}_RU)\cdot(\operatorname{Ann}_RM/U)\subseteq \operatorname{Ann}_RM}{,} was die erste Teilmengenbeziehung beweist.
Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element
\mathl{a \in \operatorname{Ann}_RM}{.} Das Ringelement $a$ annulliert alle Elemente in $M$, daher auch alle in $U$. Die Restklasse
\mathl{[0]\in M/U}{} von
\mathl{0\in M}{} ist auch das Nullelement in
\mathl{M/U}{.} Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.
\zwischenueberschrift{Torsion}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Ein Element $m\in M$ heißt
\definitionswort {Torsionselement}{,} wenn es einen
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mathl{r \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r \cdot m
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Gegeben ein Torsionselement $x$ ist für alle $r\in R$ auch $rx$ Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch Summen von Torsionselementen sind wieder Torsionselemente, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Die Menge aller \definitionsverweis {Torsionselemente}{}{} von $M$ bildet den \definitionswort {Torsionsuntermodul}{} von $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Modul}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {Torsionselementen}{}{} besteht heißt \definitionswort {Torsionsmodul}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Modul}{}{,} der außer $0$ keine \definitionsverweis {Torsionselemente}{}{} enthält, heißt \definitionswort {torsionsfrei}{.}
} Über einem \definitionsverweis {nullteilerfreien}{}{} Ring ist daher trivialerweise jeder \definitionsverweis {torsionsfreie}{}{} \definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {treu}{}{.} Die Umkehrung gilt jedoch nicht.