Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt

Elemente in allgemeinen Moduln können im Gegensatz zu Vektoren manchmal durch Multiplikation eines von ${}0$ verschiedenen Ringelementes annulliert werden. Dies führt zu folgenden Definitionen.

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es sei ${}T\subseteq R$ eine Teilmenge der Grundmenge von ${}R$.

Dann ist ${}T$ genau dann ein Ideal von ${}R$, wenn ${}T$ ein Untermodul des ${}R$- Moduls ${}R$ ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus den Definitionen.

$\Box$

Annullator

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zu einem festen ${}x\in M$ heißt

${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,$

der Annullator von ${}x$. Die Menge aller ${}r\in R$, die ${}M$ annullieren, für die also ${}rx=0$ für alle ${}x\in M$ gilt, heißt Annullator ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}$.

Ist ${}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}=0$, gibt es also außer ${}0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt ${}M$ treu.

Die Annullatoren ${}\operatorname {Ann} _{R}(x)$ und ${}\operatorname {Ann} _{R}M$ sind Ideale, weil Vielfache und Summen von annullierenden Elementen ebenfalls annullieren. Aus der Definition folgt direkt ${}\operatorname {Ann} _{R}M=\bigcap _{x\in M}\operatorname {Ann} _{R}(x)$ und die Beziehung ${}\operatorname {Ann} _{R}R/I=I$ für ein Ideal ${}I$ im kommutativen Ring ${}R$ ist auch klar. Für von einem Element erzeugte Ideale ${}Rx_{1}$ lässt sich auch ${}Rx_{1}\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ leicht nachvollziehen.

Nun sollen ein paar einfache Zusammenhänge zum Annullator festgehalten werden.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein Modul mit der direkten Summenzerlegung ${}M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$.

Dann gilt für die Annullatoren

$\operatorname {Ann} _{R}M=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}M_{i}.$

Beweis

Es sei ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Es sei ${}i\in I$ und ${}x_{i}\in M_{i}$. Weil ${}x_{i}$ als Element in ${}M$ aufgefasst werden kann ist ${}ax_{i}=0$. Daher ist ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle ${}i\in I$.

Es sei umgekehrt ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle ${}i\in I$. Es sei ${}x\in M$. Weil ${}M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ gibt es eine Darstellung ${}x=\sum _{i\in J\subseteq I}x_{i}$, mit ${}x_{i}\in M_{i}$ und ${}J$ endlich. Daher ist ${}ax=\sum _{i\in J\subseteq I}ax_{i}=0$. Deshalb ist ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}U$ ein Untermodul von ${}M$.

Dann gilt für die zugehörigen Annullatorideale

$(\operatorname {Ann} _{R}U)\cdot (\operatorname {Ann} _{R}M/U)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M\subseteq (\operatorname {Ann} _{R}U)\cap (\operatorname {Ann} _{R}M/U).$

Beweis

Es sei ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}U$ und ${}b\in \operatorname {Ann} _{R}M/U$. Es sei ${}x\in M$ und ${}[x]$ die Restklasse von ${}x$ in ${}M/U$. Es gilt ${}b[x]=0$, ${}bx$ ist daher nach Definition der Quotientenmenge in ${}U$ enthalten. Damit ist aber ${}abx=0$. Deshalb liegt ${}ab$ in ${}\operatorname {Ann} _{R}M$. Daher ist insgesamt ${}(\operatorname {Ann} _{R}U)\cdot (\operatorname {Ann} _{R}M/U)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M$, was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Das Ringelement ${}a$ annulliert alle Elemente in ${}M$, daher auch alle in ${}U$. Die Restklasse ${}[0]\in M/U$ von ${}0\in M$ ist auch das Nullelement in ${}M/U$. Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.

$\Box$

Torsion

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Ein Element ${}m\in M$ heißt Torsionselement, wenn es einen Nichtnullteiler ${}r\in R$ mit

${}r\cdot m=0\,$

gibt.

Gegeben ein Torsionselement ${}x$ ist für alle ${}r\in R$ auch ${}rx$ Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch Summen von Torsionselementen sind wieder Torsionselemente, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Die Menge aller Torsionselemente von ${}M$ bildet den Torsionsuntermodul von ${}M$.

Definition

Ein Modul, der nur aus Torsionselementen besteht heißt Torsionsmodul.

Definition

Ein Modul, der außer ${}0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.

Über einem nullteilerfreien Ring ist daher trivialerweise jeder torsionsfreie Modul treu. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.