Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt

Elemente in allgemeinen Moduln können im Gegensatz zu Vektoren manchmal durch Multiplikation eines von $0$ verschiedenen Ringelementes annulliert werden. Dies führt zu folgenden Definitionen.

Definition

Eine Teilmenge $𝔞$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$0 \in 𝔞$ .
Für alle $a, b \in 𝔞$ ist auch $a + b \in 𝔞$ .
Für alle $a \in 𝔞$ und $r \in R$ ist auch $r a \in 𝔞$ .

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Zu einem festen $x \in M$ heißt

{Ann}_{R} (x) = {r \in R ∣ r x = 0}

der Annullator von $x$ . Die Menge aller $r \in R$ , die $M$ annullieren, für die also $r x = 0$ für alle $x \in M$ gilt, heißt Annullator ${Ann}_{R} (M)$ .

Ist ${Ann}_{R} (M) = 0$ , gibt es also außer $0$ keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt $M$ treu.

Die Annullatoren ${Ann}_{R} (x)$ und ${Ann}_{R} M$ sind Ideale, weil Vielfache und Summen von annullierenden Elementen ebenfalls annullieren. Aus der Definition folgt direkt ${Ann}_{R} M = ⋂_{x \in M} {Ann}_{R} (x)$ und die Beziehung ${Ann}_{R} R / I = I$ für ein Ideal $I$ im kommutativen Ring $R$ ist auch klar. Für von einem Element erzeugte Ideale $R x_{1}$ lässt sich auch $R x_{1} ≅ R / {Ann}_{R} (x_{1})$ leicht nachvollziehen.

Nun sollen ein paar einfache Zusammenhänge zum Annullator festgehalten werden.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein Modul mit der direkten Summenzerlegung $M = ⨁_{i \in I} M_{i}$ .

Dann gilt für die Annullatoren

${Ann}_{R} M = ⋂_{i \in I} {Ann}_{R} M_{i} .$

Beweis

Es sei $a \in {Ann}_{R} M$ . Es sei $i \in I$ und $x_{i} \in M_{i}$ . Weil $x_{i}$ als Element in $M$ aufgefasst werden kann ist $a x_{i} = 0$ . Daher ist $a \in {Ann}_{R} M_{i}$ für alle $i \in I$ .

Es sei umgekehrt $a \in {Ann}_{R} M_{i}$ für alle $i \in I$ . Es sei $x \in M$ . Weil $M = ⨁_{i \in I} M_{i}$ gibt es eine Darstellung $x = \sum_{i \in J \subseteq I} x_{i}$ , mit $x_{i} \in M_{i}$ und $J$ endlich. Daher ist $a x = \sum_{i \in J \subseteq I} a x_{i} = 0$ . Deshalb ist $a \in {Ann}_{R} M$ .

◻

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Es sei $U$ ein Untermodul von $M$ .

Dann gilt für die zugehörigen Annullatorideale

$({Ann}_{R} U) \cdot ({Ann}_{R} M / U) \subseteq {Ann}_{R} M \subseteq ({Ann}_{R} U) \cap ({Ann}_{R} M / U) .$

Beweis

Es sei $a \in {Ann}_{R} U$ und $b \in {Ann}_{R} M / U$ . Es sei $x \in M$ und $[x]$ die Restklasse von $x$ in $M / U$ . Es gilt $b [x] = 0$ , $b x$ ist daher nach Definition der Quotientenmenge in $U$ enthalten. Damit ist aber $a b x = 0$ . Deshalb liegt $a b$ in ${Ann}_{R} M$ . Daher ist insgesamt $({Ann}_{R} U) \cdot ({Ann}_{R} M / U) \subseteq {Ann}_{R} M$ , was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element $a \in {Ann}_{R} M$ . Das Ringelement $a$ annulliert alle Elemente in $M$ , daher auch alle in $U$ . Die Restklasse $[0] \in M / U$ von $0 \in M$ ist auch das Nullelement in $M / U$ . Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.

◻

Torsion

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Ein Element $m \in M$ heißt Torsionselement, wenn es einen Nichtnullteiler $r \in R$ mit

r \cdot m = 0

gibt.

Gegeben ein Torsionselement $x$ ist für alle $r \in R$ auch $r x$ Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch Summen von Torsionselementen sind wieder Torsionselemente, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.