Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Torsion und Annullator/Textabschnitt

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Elemente in allgemeinen Moduln können im Gegensatz zu Vektoren manchmal durch Multiplikation eines von verschiedenen Ringelementes annulliert werden. Dies führt zu folgenden Definitionen.


Definition  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring. Sei eine Teilmenge der Grundmenge von .

Dann ist genau dann ein Ideal von , wenn ein Untermodul des -Moduls ist.

Beweis  

Dies folgt direkt aus den Definitionen.




Annullator

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zu einem festen heißt

der Annullator von . Die Menge aller , die annullieren, für die also für alle gilt, heißt Annullator .

Ist , gibt es also außer keine Ringelemente, die alle Modulelemente annullieren, so heißt treu.

Die Annullatoren und sind Ideale, weil Vielfache und Summen von annullierenden Elementen ebenfalls annullieren. Aus der Definition folgt direkt und die Beziehung für ein Ideal im kommutativen Ring ist auch klar. Für von einem Element erzeugte Ideale lässt sich auch leicht nachvollziehen.

Nun sollen ein paar einfache Zusammenhänge zum Annullator festgehalten werden.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Modul mit der direkten Summenzerlegung .

Dann gilt für die Annullatoren

Beweis  

Sei . Sei und . Weil als Element in aufgefasst werden kann ist . Daher ist für alle .

Sei umgekehrt für alle . Sei . Weil gibt es eine Darstellung , mit und endlich. Daher ist . Deshalb ist .



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Sei ein Untermodul von .

Dann gilt für die zugehörigen Annullatorideale

Beweis  

Sei und . Sei und die Restklasse von in . Es gilt , ist daher nach Definition der Quotientenmenge in enthalten. Damit ist aber . Deshalb liegt in . Daher ist insgesamt , was die erste Teilmengenbeziehung beweist.

Für die zweite Beziehung betrachten wir ein Element . Das Ringelement annulliert alle Elemente in , daher auch alle in . Die Restklasse von ist auch das Nullelement in . Deshalb gilt auch die zweite Beziehung.




Torsion

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein Element heißt Torsionselement, wenn es einen Nichtnullteiler mit

gibt.

Gegeben ein Torsionselement ist für alle auch Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch Summen von Torsionselementen sind wieder Torsionselemente, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Die Menge aller Torsionselemente von bildet den Torsionsuntermodul von .


Definition  

Ein Modul, der nur aus Torsionselementen besteht heißt Torsionsmodul.


Definition  

Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.

Über einem nullteilerfreien Ring ist daher trivialerweise jeder torsionsfreie Modul treu. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.