Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Arbeitsblatt 2

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Es sei weiter

${}A\times B:={\left\{(x,y)\mid x\in A,\,y\in B\right\}}\,$

das kartesische Produkt von ${}A$ und ${}B$. Eine Relation von ${}A$ nach ${}B$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq A\times B$.

Ist ${}R$ eine Relation von ${}A$ nach ${}B$ und ${}S$ eine Relation von ${}B$ nach ${}C$, so ist die Komposition

${}S\circ R:={\left\{(x,z)\in A\times C\mid \exists y\in B{\text{ mit }}(x,y)\in R{\text{ und }}(y,z)\in S\right\}}\,$

Weisen Sie nach, dass die Komposition von Relationen assoziativ ist, also die Gleichheit

${}T\circ (S\circ R)=(T\circ S)\circ R\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Es sei weiter

$A\times B\colon \!=\{(x,y)\,\vert \,x\in A,\,y\in B\}$

das kartesische Produkt von ${}A$ und ${}B$.

Eine Relation von ${}A$ nach ${}B$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq A\times B$. Die Umkehrrelation ${}R^{-1}$ ist gegeben durch

$(y,x)\in R^{-1}\,\,\Leftrightarrow \,\,(x,y)\in R.$

Eine Abbildung von ${}A$ nach ${}B$ ist eine Relation ${}f$ von ${}A$ nach ${}B$ mit der Eigenschaft, dass für jedes Element ${}x\in A$ genau ein Element ${}y\in B$ mit ${}(a,b)\in f$ existiert. Zeigen Sie, dass die Umkehrrelation einer Abbildung ${}f$ genau dann eine Abbildung ist, wenn ${}f$ bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzrelationen/Aufgabe