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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität

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Eigenschaften K-regulären Elemente

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An diesem Modul betrachtet man Eigenschaften von -regulären Elementen. Wie im weiteren Verlauf des Kurse zu topologischen Invertierbarkeitskriterien zu sehen ist, werden einzelne Folgerungen aus den anschließenden Sätzen sogar eine äquivalente Bedingung für -Regularität darstellen. Für die folgenden Behauptungen ist die Kommutativität als Voraussetzung nicht notwendig.

Satz:

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Sei eine unitale, pseudokonvexe Algebra, dann gilt folgende Aussage:

Wenn ein -reguläres Element ist, so existiert zu jedem ein und eine Folge positiver Zahlen , so dass:

für alle endlichen Folgen gilt.

Beweis

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Sei und mit eine -Erweiterung von . sei das System der topologieerzeugenden Gaugefunktionale auf . Ist das Inverse zu in , erhält man für alle :

Anwendung der Dreiecksungleichung

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Da man in pseudokonvexen Räumen mit -homogenen Gaugefunktionalen die Dreiecksungleichung auch in der Algebraerweiterung anwenden kann, folgt die Abschätzung:

Stetigkeit - Algebraisomorphismus

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Die Folge der ergibt sich wieder aus Potenzen des Inversen von und des zu mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten Gaugefunktionals . Die Homöomorphie der Einbettung von in liefert zusätzlich:

Anwendung in Abschätzungen

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Insgesamt erhält man für alle und die Ungleichungskette:


Für Teilklassen von und endliche Folgen der Form

erhält man den folgenden Satz als Korollar.

Diese Behauptung wurde für lokalkonvexe Räume in Stud. Math. 37, Proposition 2, S.189[1] bewiesen worden.

Satz:

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Sei eine unitale, topologische Algebra der Klasse , dann gilt:

Wenn ein -reguläres Element ist, dann gibt es für alle ein und eine Folge positiver Zahlen , so dass für alle und gilt_

Beweis

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Sei und , wobei eine -Erweiterung von ist. sei das System der topologieerzeugenden Gaugefunktionale auf . Ist das Inverse zu in , so erhält man für alle die Darstellung .

Die Folge der ergibt sich also aus Potenzen des Inversen von und des zu mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten Gaugefunktionals . Die Homöomorphie der Einbettung von in liefert zusätzlich:

Insgesamt erhält man für alle und die Ungleichungskette:


Als Kontraposition des obigen Satzes ergibt sich ebenfalls die Eigenschaft, dass Elemente mit topologisch keinen Potenzen permanent singulär sind. Die wird durch das folgende Korollar festghalten.

Korollar

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Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind permanent singulär.

Beweis

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Durch Negation der obigen Aussage erhält man für die Gaugefunktionale die Definition von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen.

Quellennachweise

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  1. Zelazko Wieslaw, (1984) On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190

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