An diesem Modul betrachtet man Eigenschaften von -regulären Elementen. Wie im weiteren Verlauf des Kurse zu topologischen Invertierbarkeitskriterien zu sehen ist, werden einzelne
Folgerungen aus den anschließenden Sätzen sogar eine äquivalente Bedingung für -Regularität darstellen. Für die folgenden Behauptungen ist die Kommutativität als Voraussetzung nicht notwendig.
Sei eine unitale, pseudokonvexe Algebra, dann gilt folgende Aussage:
Wenn ein -reguläres Element ist, so existiert zu jedem ein und eine Folge positiver Zahlen , so dass:
für alle endlichen Folgen gilt.
Sei und mit eine -Erweiterung von
. sei das System der topologieerzeugenden
Gaugefunktionale auf . Ist das Inverse zu in , erhält man
für alle :
Da man in pseudokonvexen Räumen mit -homogenen Gaugefunktionalen die Dreiecksungleichung auch in der Algebraerweiterung anwenden kann, folgt die Abschätzung:
Die Folge der ergibt sich wieder aus Potenzen des Inversen
von und des zu mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten
Gaugefunktionals . Die Homöomorphie der Einbettung von
in liefert zusätzlich:
Insgesamt erhält man für alle und die
Ungleichungskette:
Für Teilklassen von und endliche Folgen der Form
erhält man den folgenden Satz als Korollar.
Diese Behauptung wurde für lokalkonvexe Räume in Stud. Math. 37, Proposition 2, S.189[1] bewiesen worden.
Sei eine unitale, topologische Algebra der Klasse , dann gilt:
Wenn ein -reguläres Element ist, dann gibt es für alle ein und eine Folge positiver Zahlen , so dass für alle und gilt_
Sei und , wobei eine -Erweiterung von
ist. sei das System der topologieerzeugenden
Gaugefunktionale auf . Ist das Inverse zu in , so erhält man
für alle die Darstellung
.
Die Folge der ergibt sich also aus Potenzen des Inversen von
und des zu mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten
Gaugefunktionals . Die Homöomorphie der Einbettung von
in liefert zusätzlich:
Insgesamt erhält man für alle und die
Ungleichungskette:
Als Kontraposition des obigen Satzes ergibt sich ebenfalls die Eigenschaft, dass Elemente mit topologisch keinen Potenzen permanent singulär sind. Die wird durch das folgende Korollar festghalten.
Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind permanent singulär.
Durch Negation der obigen Aussage erhält man für die Gaugefunktionale die Definition von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen.
- ↑ Zelazko Wieslaw, (1984) On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190
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