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Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die -Regularität eines Elementes für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren.
Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die Wiki2Reveal-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben.
Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von auf ist, kann noch keine Charakterisierung der -regulären Elemente in Anlehnung an die -regulären Elemente angegeben werden.
Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der -regulären Elemente liegen.
Sei mit als gerichtetes -System (aus Gaugefunktionalen).
Für jedes sei eine Folge
von Gaugefunktionalen mit
Konstanten und ein gegeben, mit
- für alle und ,
für alle , und . Dann existiert ein -System auf , so dass die
Cauchymultiplikation mit stetig
ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale
auf mit mit der von erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt.
Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung
für die gilt:
für alle und .
für alle , und .
für alle , und .
Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine -Sequenz
mit
für alle und .
für alle , und .
- für alle
- .
Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf durch
und man erhält für alle
Mit gilt auch\\
und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit
folgender Ungleichungskette für nach unten ab.
Insgesamt ergibt sich
für alle
und .
Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente
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Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der
Gaugefunktionale gescheitert.
- Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist
nicht stetig auf .
- Beschränkung nach "`unten"', d.h. die
Homöomorphie der Einbettung von
in die gesuchte Algebraerweiterung ist nicht erfüllt.
Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur -Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis.
Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale
auf . Für Teilklassen von war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von
in Bezug auf das -reguläre Element auf die
Polynomalgebra durch die im folgenden definierten -Funktionale
übertragen werden.
mit ,
, und . Die Festlegung, dass die
Gaugefunktionale die obige Form auf besitzen, ist jedoch für
den allgemeinen Fall eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den
unter und genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des
-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra . Für den Satz zur -Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden:
- Für die -Regularität eines Elementes ist es notwendig,
dass die Polynomalgebra (Cauchymultiplikation auf ) mit einer
Topologie versehen werden kann, die zu einer topologischen Algebra
macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf beschreiben zwei
Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem
auf und das gegebene System auf
. Wie bei dem -Regularitätskriterium in Satz -Regularität besitzt
auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die
andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht.
- Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für
die -Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine -Erweiterung
von konstruiert werden, in der invertierbar ist. ist wie
bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra ,
wobei in diesem Fall {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal
gewählt wird, sondern als Kern des
Systems mit
Kern eines System von -Funktionalen auf bedeutet:
Für Hausdorffräume gilt
. enthält dabei das oben
angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine
echte Teilmenge von ist.
Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die
Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind.
Sei eine
topologische Algebra der Klasse
und sei ein abgeschlossenes Ideal in . Dann ist mit
als Äquivalenzklasse von und
dem Quotientensystem der
-Funktionale
eine topologische -Algebra.
Man betrachtet nur den Fall mit
als -Halbnormensystem. Für alle
anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die
"`"'-Abschätzung für -Funktionale auf bleibt
auch auf gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der
Addition bei Quasinormen).
Analog erhält man für die Multiplikation mit
für alle
:
Da abgeschlossen ist, ist auch Hausdorff'sch.
Sei nicht notwendig
Hausdorffsch, dann ist mit
und den von auf induzierten
Quotienten--Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse
.
Sei eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem
. Die Beweise für spezielle -Algebren laufen unter
Ausnutzung der Eigenschaften von -Funktionalen analog.
Sei , und , dann gibt es zu jedem
mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein
bzw. mit
\\
\\
\\
Ferner ist abgeschlossen, denn für ein Netz aus , das
gegen konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird
wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu
gewählt.
Damit folgt und mit beliebig erhält
man . Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma
QuoAlg , da ein abgeschlossenes Ideal in bildet.
Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung
der -regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer
Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit
in einer bestimmten -Erweiterung einer gegebenen Algebra
durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\
Sei . Ein Element
ist genau dann -regulär, wenn ein -Funktionalsystem
auf existiert, das zu einer nicht
notwendig Hausdorff'schen -Algebra macht und das folgende
zwei Bedingungen erfüllt:
- Zu jedem existiert ein und
ein , so dass \\
für alle gilt.
- Zu jedem existiert ein
und ein , so dass
für alle und gilt.
"`"'
Da jedes -Funktional bei Ersetzung von -Halbnormen und
Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den
Zusammenhang von -Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist,
werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich
Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen
Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche
Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich
der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine
eingeschränkte Algebrenklasse ebenfalls gültig. Dies liegt unter
anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von
-Funktionalen auf Teilalgebren wieder -Funktionale sind.
Sei ein -reguläres Element, dann gibt es eine
-Erweiterung von , in der invertierbar ist. Sei das
Inverse zu und das Gaugefunktionalsystem auf .
Die von und erzeugte Teilalgebra von hat
die Gestalt
Man wählt als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf
mit folgender Identifikation mit Elementen aus . Sei
, dann definiert man
Man sieht an dieser Stelle, dass auf keine
Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für
das von verschiedene Polynom gerade
für alle , da
.
Die Cauchymultiplikation auf und die Multiplikation auf sind
topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich
insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der
Multiplikation auf . Sei zu einem gegebenen
so gewählt, dass für alle die Ungleichung
gilt, dann
erhält man für alle die Abschätzung
also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf .
In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf
über die von auf eingeschränkten Gaugefunktionale.
wird also über die Teilalgebra von topologisiert. Mit der
Homöomorphie der Einbettung von in erhält man
einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung die Bedingung
{\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die
Stetigkeit der Umkehrabbildung zu jedem ein
und ein mit
Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten
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Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit , denn es gilt
Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung
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"" Sei nun umgekehrt eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem
, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der
Behauptung des Satzes erfüllt.
Man definiert auf ein weiteres Gaugefunktionalsystem
. Für setzt man:
Die gesuchte Algebra, in der invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra
, wobei als Kern des Systems gewählt wird.
Da auch das System die Algebra zu einer
topologischen Algebra macht,
liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass eine Hausdorff'sche
topologische Algebra ist. Der
Algebrahomomorphismus mit
, der
mit dem konstanten Polynom mit Wert identifiziert und dann diesem
Polynom seine Äquivalenzklasse in zuordnet, ist der gesuchte
Algebraisomorphismus von nach , wenn man die
Homöomorphie von und gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen).
Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu
jedem ein und ein existieren mit
Wählt man zu dem ein mit
so erhält man für alle
:
für alle .
Dabei ist das Quotientengaugefunktionalsystem auf . Damit ist die von auf induzierte Relativtopologie feiner als die von auf über induzierte Topologie.
Also ist der Homomorphismus nach injektiv und bijektiv von auf
, denn für alle gibt es
aufgrund des oben erwähnten
topologischen Zusammenhangs ein mit
Sei nun , dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein
mit , so dass
und damit gilt.
Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der
Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung
{\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem aus {\it (HS 1)} ein
mit
so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem
ein und ein
finden mit für alle
. Insgesamt ergibt sich für alle und alle :
Durch Infimumbildung über alle bleibt die Ungleichung für die
Äquivalenzklasse erhalten und es gilt
Wegen , gilt und aufgrund
Kommutativität der Algebra und
erhält man .
Charakterisierung der T-regulären Elemente
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Die Charakterisierung der -regulären Elemente ist damit eine
unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in
nachstehendem Korollar noch einmal
formuliert wird. Die Konstanten bzw. des Hauptsatzes,
deren Verwendung für submultiplikative -Funktionale notwendig ist,
werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz .
Sei . Ein Element
ist genau dann -regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem
auf existiert, das zu einer nicht
notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende
zwei Bedingungen erfüllt:
- Zu jedem existiert ein mit
für alle .
- Zu jedem existiert ein , so dass
für alle und gilt.
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