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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium

Aus Wikiversity

Einleitung

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Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

Zielsetzung

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Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die -Regularität eines Elementes für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren.

Zielgruppe

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Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die Wiki2Reveal-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben.

T-Regularitätskriterium

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Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von auf ist, kann noch keine Charakterisierung der -regulären Elemente in Anlehnung an die -regulären Elemente angegeben werden.

Bemerkung zu den Herausforderungen

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Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der -regulären Elemente liegen.

Sei mit als gerichtetes -System (aus Gaugefunktionalen). Für jedes sei eine Folge von Gaugefunktionalen mit Konstanten und ein gegeben, mit

  • für alle und ,

für alle , und . Dann existiert ein -System auf , so dass die Cauchymultiplikation mit stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale

auf mit mit der von erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt.

Beweis

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Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung

für die gilt:

für alle und .

für alle , und .

für alle , und . Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine -Sequenz mit

für alle und .

für alle , und .

  • für alle
  • .

Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf durch

und man erhält für alle

Mit gilt auch\\ und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für nach unten ab.

Insgesamt ergibt sich für alle und .

Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente

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Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert.

  • Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist

nicht stetig auf .

  • Beschränkung nach "`unten"', d.h. die

Homöomorphie der Einbettung von in die gesuchte Algebraerweiterung ist nicht erfüllt.

Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur -Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis.

Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale auf . Für Teilklassen von war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von in Bezug auf das -reguläre Element auf die Polynomalgebra durch die im folgenden definierten -Funktionale übertragen werden.

mit , , und . Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form auf besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter und genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des -Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra . Für den Satz zur -Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden:

  • Für die -Regularität eines Elementes ist es notwendig,

dass die Polynomalgebra (Cauchymultiplikation auf ) mit einer Topologie versehen werden kann, die zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem auf und das gegebene System auf . Wie bei dem -Regularitätskriterium in Satz -Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht.

  • Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für

die -Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine -Erweiterung von konstruiert werden, in der invertierbar ist. ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra , wobei in diesem Fall {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal gewählt wird, sondern als Kern des Systems mit

Kern eines System von -Funktionalen auf bedeutet:

Für Hausdorffräume gilt . enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von ist.

Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind.

Lemma:

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Sei eine topologische Algebra der Klasse und sei ein abgeschlossenes Ideal in . Dann ist mit als Äquivalenzklasse von und dem Quotientensystem der -Funktionale

eine topologische -Algebra.

Beweis

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Man betrachtet nur den Fall mit als -Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`"'-Abschätzung für -Funktionale auf bleibt auch auf gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen).

Analog erhält man für die Multiplikation mit für alle :

Da abgeschlossen ist, ist auch Hausdorff'sch.

Lemma:

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Sei nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist mit

und den von auf induzierten Quotienten--Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse .

Beweis

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Sei eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem . Die Beweise für spezielle -Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von -Funktionalen analog. Sei , und , dann gibt es zu jedem mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein bzw. mit

\\

\\

\\

Ferner ist abgeschlossen, denn für ein Netz aus , das gegen konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu gewählt.

Damit folgt und mit beliebig erhält man . Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da ein abgeschlossenes Ideal in bildet. Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der -regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten -Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\

Hauptsatz

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Sei . Ein Element ist genau dann -regulär, wenn ein -Funktionalsystem auf existiert, das zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen -Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt:

  • Zu jedem existiert ein und

ein , so dass \\ für alle gilt.

  • Zu jedem existiert ein

und ein , so dass

für alle und gilt.

Beweis

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"`"' Da jedes -Funktional bei Ersetzung von -Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von -Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von -Funktionalen auf Teilalgebren wieder -Funktionale sind. Sei ein -reguläres Element, dann gibt es eine -Erweiterung von , in der invertierbar ist. Sei das Inverse zu und das Gaugefunktionalsystem auf . Die von und erzeugte Teilalgebra von hat die Gestalt

Man wählt als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf mit folgender Identifikation mit Elementen aus . Sei , dann definiert man

Man sieht an dieser Stelle, dass auf keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von verschiedene Polynom gerade für alle , da . Die Cauchymultiplikation auf und die Multiplikation auf sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf . Sei zu einem gegebenen so gewählt, dass für alle die Ungleichung gilt, dann erhält man für alle die Abschätzung

also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf . In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf über die von auf eingeschränkten Gaugefunktionale. wird also über die Teilalgebra von topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von in erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu jedem ein und ein mit

Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten

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Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit , denn es gilt

Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung

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"" Sei nun umgekehrt eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem , das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf ein weiteres Gaugefunktionalsystem . Für setzt man:

Übergang zur Quotientenalgebra

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Die gesuchte Algebra, in der invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra , wobei als Kern des Systems gewählt wird. Da auch das System die Algebra zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus mit , der mit dem konstanten Polynom mit Wert identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von nach , wenn man die Homöomorphie von und gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem ein und ein existieren mit

Stetigkeit der Addition

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Wählt man zu dem ein mit

so erhält man für alle :

für alle .

Quotientengaugefunktionalsystem

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Dabei ist das Quotientengaugefunktionalsystem auf . Damit ist die von auf induzierte Relativtopologie feiner als die von auf über induzierte Topologie.

Also ist der Homomorphismus nach injektiv und bijektiv von auf , denn für alle gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein mit

Sei nun , dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein mit , so dass

und damit gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem aus {\it (HS 1)} ein mit

so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem ein und ein finden mit für alle . Insgesamt ergibt sich für alle und alle :

Infimumbildung

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Durch Infimumbildung über alle bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse erhalten und es gilt

Wegen , gilt und aufgrund Kommutativität der Algebra und erhält man .

Charakterisierung der T-regulären Elemente

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Die Charakterisierung der -regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten bzw. des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative -Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz .

Korrollar:

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Sei . Ein Element ist genau dann -regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem auf existiert, das zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt:

  • Zu jedem existiert ein mit

für alle .

  • Zu jedem existiert ein , so dass

für alle und gilt.

Aufgaben für Studierende

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Siehe auch

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Seiteninformation

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