Kurs:Vektor-Algebra/Komponentenschreibweise/Kartesisch

Kartesisches Basissystem

Koordinatensysteme

Das kartesische Koordinatensystem kennst Du aus der Schule. Wir wollen den Zusammenhang zum Skalarprodukt und den Koordinaten herstellen.

Um die Rechnugen zu vereinfachen, hätte man gern die Operationen bei den Vektoren auf die gewöhnliche Arithmetik abgebildet. Die Vektoren projiziert man auf ein gemeinsames Bezugssystem, aus denen man alle Vektoren zusammensetzen kann. Die Vektoren werden dabei auf die Richtung der Basisvektoren projiziert. Die Basisvektoren sind normierte Einheitvektoren mit der Länge 1 .Das Bezugssystem nennt man Koordinatensystem. In der Physik sind die kartesischen, die Zylinder- und die Kugelkoordinaten am wichtigsten. Die Vektoren werden duch Tupel von Skalaren dargestellt.

Die Zylinderkoordinaten und die Kugelkoordinaten sind in der Physik häufig gebraucht und man sollte sie auswendig kennen.

(i.te Koordinate, j.te Koordinate, k.te Koordinate)

Jede Position im Tupel steht für das Ergebnis aus der Skalarmultiplikation aus dem Vektor und einem Einheitsvektor der Basis. Bei den kartesischen Koordinaten also kartesische Einheitsvektoren, bei den Zylinderkoordinaten entsprechende. Die Koordinate entsteht als Projektion auf einen Einheitsvektor und wird in der entsprechenden Position im Tupel eingetragen.

Die Projektion besorgt das Skalarprodukt:

V$\cdot$$e_{i}$ = Koordinate i

Der Vektor V läßt sich als Summe der Projektionen auf die Einheitsvektoren schreiben.

${\mathbf {V} }=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\mathbf {V} }_{1}+{\mathbf {V} }_{2}+{\mathbf {V} }_{3}=V_{1}{\mathbf {e} }_{1}+V_{2}{\mathbf {e} }_{2}+V_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Die Schreibweise als Tupel ist dabei als Kurzschreibweise zu verstehen, die Reihenfolge ist wesentlich und entspricht der Reihenfolge in der Summe. Im Grunde müßte man immer das Basissystem bei dem Tupel kennzeichnen. Meist ist das aber aus dem Kontext erkennbar.

Orthonormalität und Vollständigkeit des Basissystems ONB

Dass man einen Vektor so schreiben kann oder nach einer Basis entwickeln kann ist ein immer wieder auftauchendes Verfahren. Wir wenden das immer an, um bequem rechnen zu können. Am komfortabelsten ist natürlich die Rechnung in einer Basis zu machen, die möglichst einfache Koordinaten liefert. Unter den einfachen Basissystemen ist am prominentesten die orthonormalen Basissystemen, hier stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander, was man mit dem Skalarprodukt feststellen kann, denn das Skalarprodukt orthogonaler Basisvektoren verschwindet.

Die wichtigsten Zusammenhänge sind die Vollständigkeit- , die Orthonormalitäts-Relationen und ein Entwicklungssatz.

Orthonormalität

Das Skalarprodukt der Basisvektoren ergibt paarweise Null.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{1}=0.$

Nach der Charakterisierung des Skalarproduktes mit dem cos-Faktor stehen die Einheitsvektoren also senkrecht aufeinander. Wenn wir die Einheitsvektoren verlängern dann begrenzen sie einen rechtwinkliges Raster.

Normierung

Normierte Basisvektoren heißen Einheitsvektoren, weil die Norm 1 ist.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{3}=1$

Vollständigkeit

Die Basisvektoren reichen aus, um den gesamten Vektorraum aufzuspannen. Die Vollständigkeitsrelation erklären wir mit dem Kroneckerdelta

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i $\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Der Zusammenhang mit unserem Thema steckt in der Gleichung:

${\mathbf {e} }_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{k}=\delta _{ik}.$

Entwicklungssatz

Jeder Vektor kann in der orthonormierten Basis dargestellt werden. Orthonormiert ist ein Kunstwort aus normiert und orthogonal.

${\mathbf {V} }=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\mathbf {V} }_{1}+{\mathbf {V} }_{2}+{\mathbf {V} }_{3}=V_{1}{\mathbf {e} }_{1}+V_{2}{\mathbf {e} }_{2}+V_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Die Darstellung eines Vektors in einem ONB ist eindeutig. ONS steht für Orthonormiertes Basis-System.

Die Komponenten/Koordinaten eines Vektors a bezeichnen wir mit einem angehängten Index $a_{1}$, $a_{2}$ oder $a_{3}$. Dabei bedeuten sie das Produkt aus dem Skalarprodukt Vektor a mit dem Basisvektor $e_{i}$, i= 1,2,3.

$a_{i}$ = $a\cdot e_{i}$

Die Darstellung des Vektors a in der Basis wird dann zu einer Summe.

a =$\sum _{i=1}^{3}a\cdot e_{i}$ = $a\cdot e_{1}+a\cdot e_{2}+a\cdot e_{3}$

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung

Wir zeigen, wie man mit die Vektor-Operationen rechnet in der Komponentendarstellung. Wir tun das für das kartesische (kanonische) Basissystem.

Summe und Differenz zweier Vektoren

Man addiert zwei Vektoren, indem man bei gleicher Basis ihre skalaren Komponenten addiert.

$e_{i}\cdot (a+b)=a_{i}+b_{i}=c_{i}$ für i = 1,2,3

$c=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}\ \mathrm {und} \ {\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}}$

berechnet sich als:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {i}}+(a_{2}+b_{2}){\vec {j}}+(a_{3}+b_{3}){\vec {k}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist die Summe der Komponentenprodukte

$(a\cdot b)$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}e_{i})$ $\sum _{j=1}^{3}(b_{j}e_{j})$

= $\sum _{i,j=1}^{3}(a_{i}b_{j})(e_{i}e_{j})$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{j})\delta _{i}j$

$(a\cdot b)$ = $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{i})$

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i :$\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als inneres Produkt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

Die Wurzel daraus ist die Norm des Vektors $\|a\|$.

   

Vektor-Algebra

   

Übung: Skalarprodukt

Vektorprodukt zweier Vektoren

Rechtssystem

Diese Formeln charakterisieren ein Rechtssstem.

${\begin{matrix}{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{1},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{1}=-{\mathbf {e} }_{3},\quad {\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{2}=-{\mathbf {e} }_{1},\quad {\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{3}=-{\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {0} }.\end{matrix}}$

Diese Formeln für die Basisvektoren in der ONB haben die angenehme Eigenschaft, dass man das Kreuzprodukt recht einfach auf eine komponentenweise Berechnung der Koordinaten zurückführen kann.

Das Prinzip ist wie beim Skalarprodukt.

Vergleich:

a =$\sum _{i=1}^{3}a\cdot e_{i}$ = $a\cdot e_{1}+a\cdot e_{2}+a\cdot e_{3}$

Hier hatten wir die Projektionen auf die Richtung der $e_{i}$ aufsummiert. Nun müssen wir für das Kreuzprodukt $a\times b$ den entstehenden Vektor auf die Richtungen von $e_{i}\times e_{j}$ projizieren und dann die Projektionen aufsummieren. Es sind die Richtungen zu berechnen auf das wir den Produktvektor $a\times b$ projizieren wollen.

Die Kreuzprodukte der Faktoren sind einfach und bilden auf die Koordinaten des Produktvektors ab, wie man an der rechten Seite erkennt.

$e_{1}\times e_{2}=e_{3}$ ,

$e_{2}\times e_{3}=e_{1}$ ,

$e_{3}\times e_{1}=e_{2}$

Es ist nur noch die Projektion zu leisten, dass wir zur Vorbereitung mit einem Basisvektor vornehmen.

$e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$ =: $\epsilon _{i}jk$

Dieses Produkt ist das bekannte Spatprodukt aus den Basisvektoren und ist eine Prominente. Epsilon-Tensor - total antisymmetrischer Tensor. Ein Hinweis darauf, dass die Basis ein Rechtssystem ist.

$\varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}$

Kreuzprodukt

Damit fassen wir die Kreuzprodukte der Basis-Vektoren übersichtlich zusammen

$(e_{i}\times e_{j})$ = $\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}e_{k}$

Mit dem Kreuzprodukt der Basis-Vektoren können wir nun auch komponentenweise das Kreuzprodut anschreiben.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\vec {e_{i}}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}}$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\;.$

Das ist im Grunde eine Kurzdarstellung der drei Komponenten-Gleichungen

$c_{1}$ = $a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}$ = $a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}$ = $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Das soll der Leser selber mit den obigen Formeln nachrechnen, um den Umgang mit dem $\varepsilon _{ijk}$ zu lernen. Später werden wir diese Fertigkeit bei Beweisen gut gebrauchen können.

Epsilon-Tensor

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt kann man einfach formulieren mit den früheren Formeln für das Kreuzprodukt

$a\cdot (b\times c)$

=$\sum _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}\color {red}e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$

=$\sum _{i,j,k}\color {red}\varepsilon _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}$

Eine wichtige Eigenschaft des Spatproduktes istdas man $\times$ und $\cdot$ vertauschen kann.

Nachrechnen am Epsilon-Tensor !

Das Spatprodukt ist positiv, wenn die Permutation gerade ist und negativ falls ungerade.

Die Reihenfolge der Indizes ist {1,2,3}. Die Reihenfolge kann auch vertauscht sein {2,1,3}, hier ist genau eine Vertauschung der Indizes mit seinem Nachbarn geschehen. Die Permutation ist deswegen ungerade. Wenn ich bei {2,1,3} 1 -> 3 vertausche entsteht die gerade Permutation {2,3,1}.

Zyklische Vertauschung meint im Uhrzeigersinn vertauschen. Antizyklische Vertauschung gegen den Uhrzeigersinn. Dabei schreib man zuerst den Index 1 an im Uhrzeigersinn den Index 2 und dann den Index

Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der antizyklischen Vertauschung ein Vorzeichenwechsel auf:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)$

Zwei gleiche Vektoren lassen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$ verschwinden:

$\left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0$

Sonst gelten die vertrauten Eigenschaften von Produkten.

Skalare Multiplikation $\alpha \in \mathbb {R}$ ist assoziativ:

$\left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)$

Distributiv:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}}\right)=\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)+\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}}\right)$

Spatprodukt

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)

Wir brauchen die k-te Komponente des doppelten Vektorproduktes a x (b x c). Für uns sind das zwei Vektorprodukte

${\color {Blue}a}\times {\color {Red}(b\times c)}$

Jedes läßt sich mit dem $\epsilon _{i}jk$ Tensor in eine Komponenten-Gleichung schreiben

$[a\times (b\times c)]_{k}$

= $\sum _{i,j}a_{i}(b\times c)_{j}$

= $\sum _{i,j}\sum _{l,m}\epsilon _{i}jk\varepsilon _{lmj}a_{i}b_{l}c_{m}$

= $-\sum _{i,j}\sum _{l,m}\epsilon _{i}jk\varepsilon _{jlm}a_{i}b_{l}c_{m}$

Mit der Formel

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{jlm}$ = $\delta _{i}l\delta _{k}m-\delta _{i}m\delta _{k}l$

Die Herkunft dieser Formel erleben wir in den Übungen. Setze Sie an dieser Stelle einfach ein ohne sich Gedanken zu machen.

$[a\times (b\times c)]_{k}$

= $\sum _{i,l,m}a_{i}b_{l}c_{m}(\delta _{i,m}\delta _{k,l}-\delta _{i,l}\delta _{k,m})$

= $\sum _{i}(a_{i}b_{k}c_{i}-a_{i}b_{i}c_{k})$

= $b_{k}(a\cdot c)-c_{k}(a\cdot b)$

= $[b(ac)-c(ab)]_{k}$

Die Merkregel dafür ist einprägsam und hat einen Namen Bac-cab-Regel

Jacobi-Identität

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$

Lagrange-Identität

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})$