Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 5/latex
\zwischenueberschrift{Verknüpfungen}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit dem Betrag der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {\betrag { a-b } } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
\mathdisp {\{G,U\}} { }
eine \anfuehrung{Addition}{} und eine \anfuehrung{Multiplikation}{,} die diese Regeln \anfuehrung{repräsentieren}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \operatorname{Abb} \, { \left( S , S \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei versehen mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung von Abbildungen}{}{}
als
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {assoziativ}{}{,}
\definitionsverweis {kommutativ}{}{,}
gibt es ein
\zusatzklammer {eindeutiges} {} {}
\definitionsverweis {neutrales Element}{}{,}
für welche
\mathl{F\in M}{} gibt es ein
\definitionsverweis {inverses Element}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ F :\{0,1\} \rightarrow \{0,1\} \mid F \text{ Abbildung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Benenne die Elemente aus $M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf $M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine Menge und $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\star} { M \times M} {M
} {(x,y)} { x \star y
} {.}
Definiere auf der Abbildungsmenge
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, (I,M) = { \left\{ F:I \rightarrow M \mid F \text{ Abbildung} \right\} }} { }
eine Verknüpfung unter Bezug auf die vorgegebene Verknüpfung. Übertragen sich die Eigenschaften
\definitionsverweis {Assoziativität}{}{,}
\definitionsverweis {Kommutativität}{}{,}
Existenz eines
\definitionsverweis {neutralen Elementes}{}{,}
Existenz von
\definitionsverweis {inversen Elementen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und \maabbeledisp {F} {M\times M} {M } {(x,y)} {F(x,y) } {,} eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.} Formuliere verschiedene Verknüpfungseigenschaften in dieser \zusatzklammer {unüblichen} {} {} Notation.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zu Peano-Axiomen}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, das zwei Mengen $\N_1$ und $\N_2$, die beide die
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{}
erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung
\mathl{\N_1 \rightarrow \N_2}{} an, die $0_1$ in $0_2$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige ausgehend von den
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{n \in {\mathbb N}}{,} $n \neq 0$, einen Vorgänger besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb N}$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Addition auf ${\mathbb N}$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\N$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Multiplikation auf $\N$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:= 0'$ als neutrales Element besitzt.
Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 10 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die übliche Addition und Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen \zusatzklammer {also das schriftliche Addieren und Multiplizieren durch gewisse Ziffernmanipulationen im Zehnersystem} {} {} korrekt ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Induktionsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere das Induktionsprinzip für Aussagen quantorenlogisch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n i
}
{ =} { \frac{n(n+1)}{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n i^2
}
{ =} { \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n i^3
}
{ =} { { \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \zusatzklammer {beginnend bei $1$} {} {} stets eine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe eine Formel an für die Differenz zwischen der Summe der ersten $n$ geraden Kubikzahlen und der Summe der ersten $n$ ungeraden Kubikzahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $x$ eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n x^k
}
{ =} { { \frac{ x^{n+1} -1 }{ x-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ \geq} {n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Folge $a_n, \, n \in \N$, sei rekursiv durch
\mathdisp {a_1=1 \text{ und } a_n = \sum_{k=1}^{n-1} k a_k \text{ für } n \geq 2} { }
definiert. Zeige, dass für $n \geq 2$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} {\frac{1}{2} n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n
}
{ \leq} { n^\frac{n(n+1)}{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zu Binomialkoeffizienten}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k }
}
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} natürliche Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{Rechne dies explizit für $n \leq 6$ nach.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und $P$ die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
von $M$. Betrachte die Relation $T$ auf $P$, die durch
\mathdisp {T(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \subseteq B} { }
gegeben ist
\zusatzklammer {dabei sind also \mathkor {} {A} {und} {B} {}
Teilmengen von $M$} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und $P$ die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
von $M$. Betrachte die Relation $D$ auf $P$, die durch
\mathdisp {D(A,B) \text{ genau dann, wenn } A \cap B = \emptyset} { }
gegeben ist \zusatzklammer {dabei sind also \mathkor {} {A} {und} {B} {} Teilmengen von $M$} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente dieser Relation, wenn $M$ $n$ Elemente besitzt.
}
{} {}