Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Einige exemplarische Lösungen

Zu 2.2 (2)

Wir beweisen Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.

Erste Voraussetzung: ${}B\cap A=\emptyset$, d.h.:

Für alle ${}x$ gilt: wenn ${}x\in B$, dann ist ${}x\not \in A$.

Zweite Voraussetzung: ${}C\subseteq B$, d.h.:

Für alle ${}y$ gilt: wenn ${}y\in C$ ist, so ist auch ${}y\in B$.

Wir wollen ${}C\cap A=\emptyset$ zeigen. Es sei dazu ${}z\in C$ ein beliebiges Element. Wir wenden die zweite Voraussetzung auf dieses Element ${}z$ an und erhalten ${}z\in B$. Wir wenden dann die erste Voraussetzung auf dieses ${}z$ an, was ${}z\not \in A$ ergibt.

Zu 5.16

Wir erinnern an die Identitäten

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$

und

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

aus Aufgabe.

Wir berechnen

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}((2i)^{3}-(2i-1)^{3})&=\sum _{i=1}^{n}(2i)^{3}-\sum _{i=1}^{n}(2i-1)^{3}\\&=8\sum _{i=1}^{n}(2i)^{3}-\sum _{i=1}^{n}(8i^{3}-12i^{2}+6i-1)\\&=12\sum _{i=1}^{n}i^{2}-6\sum _{i=1}^{n}i+n\\&=2n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)+n\\&=n((n+1)(4n-1)+1)\\&=n(4n^{2}+3n)\\&=4n^{3}+3n^{2}.\end{aligned}}$