Infinitesimalrechnung

Differentialrechnung

Definition: Funktion

Seien X und Y Mengen,  $x\in X$  und  $y\in Y$ . 
Sei f eine Vorschrift, die jedem  $x\in X$  genau ein  $y\in Y$  zuordnet.
f sei bezeichnet als Funktion f von X nach Y.
Man schreibt dafür:  $f:X\to Y$  oder  $x\mapsto y:=f(x)$  oder  $f(x)=y$ .

Bemerkung:

Man stelle sich eine Funktion als eine Maschine vor, die etwas nimmt (bspw. x), dies verarbeitet, und f zurück gibt.

f ist hierbei die abhängige Variable, und x die unabhängige Variable.

In der Mechanik wird die Bewegung eines Objektes in einem Koordinatensystem betrachtet. Dieses Objekt wird durch einen Massenpunkt beschrieben, sprich, die Ausdehnung respektive Größe des Objekts wird vernachlässigt, und auf einen unendlich kleinen Punkt reduziert.

Wie in Modul 5: Vektoren eingeführt, befindet sich das Objekt am Punkt P, der Ursprung des Koordinatensystems heißt O, und die Position des Objektes wird durch den Ortsvektor ${\vec {r}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)$ beschrieben. Da die Position der einzelnen Koordinaten von der Zeit t abhängt, schreiben wir die Koordinaten als Funktion der Zeit: ${\vec {r}}(t)=\left({\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{array}}\right)$ . Der Einfachheit halber betrachten wir sowohl y(t), als auch z(t) als konstant, sprich, das Objekt bewegt sich linear auf der x-Achse.

Also ${\vec {r}}(t)=\left({\begin{array}{c}x(t)\\=0\\=0\end{array}}\right)$ . Dieser Vektor beschreibt das Objekt zum Zeitpunkt t_1. Um die Bewegung zu charakterisieren, müssen wir das Objekt nach einer gewissen Zeit, $t_{2}$ betrachten.

Der Abstand zwischen diesen Zeitpunkten sei als $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ bezeichnet. D.h. $t_{2}=t_{1}+\Delta t$ . Wir betrachten also als zweites den Vektor ${\vec {r}}(t_{1}+\Delta t)$ .

Wir halten fest: Der Ausgangspunkt ist dieser: ${\vec {r}}(t_{1})=\left({\begin{array}{c}x(t_{1})\\0\\0\end{array}}\right)$ . Wir lassen die Zeit um $\Delta t$ Zeiteinheiten weiterlaufen. Während dieser Zeit bewegt sich das betrachtete Objekt. Sprich ${\vec {r}}(t_{2})={\vec {r}}(t_{1}+\Delta t)=\left({\begin{array}{c}x(t_{1}+\Delta t)\\0\\0\end{array}}\right)$ .

Die Differenz dieser beiden Vektoren heißt Differential!