Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass ${}2$ eine Primitivwurzel modulo ${}q=2p+1$ ist genau dann, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl und ${}q=2p+1$. Es sei ${}a$ gegeben mit ${}2\leq a\leq q-2$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine primitive Einheit modulo ${}q$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo ${}q$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, ${}q=2p+1$. Zeige, dass ${}q$ ein Teiler von ${}M_{p}+2=2^{p}+1$ genau dann ist, wenn ${}q=\pm 3\mod 8$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ${}n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ${}1105$ und ${}1729$ Carmichael-Zahlen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}>3$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p-1$ und ${}3p-2$ prim sind. Zeige, dass dann

$n=p(2p-1)(3p-2)$

eine Carmichael-Zahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${}n$ zwischen ${}100$ und ${}200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion ${}{\varphi (n)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine gerade vollkommene Zahl, ${}n\neq 6$. Zeige, dass ${}n$ die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.