Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 14

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass eine Primitivwurzel modulo ist genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl und . Sei gegeben mit . Zeige, dass genau dann eine primitive Einheit modulo ist, wenn es kein Quadratrest modulo ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl, . Zeige, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass und Carmichael-Zahlen sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch und prim sind. Zeige, dass dann

eine Carmichael-Zahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen zwischen und mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine gerade vollkommene Zahl. Berechne die eulersche Funktion .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine gerade vollkommene Zahl, . Zeige, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Kubikzahlen ist.