Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede \zusatzklammer {additive} {} {} Untergruppe von $\Z$ die Form $\Z a$ besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise folgende Aussagen für einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
\aufzaehlungdrei{Das Element $a$ ist ein Teiler von $b$
\zusatzklammer {also
\mathl{a {{|}} b}{}} {} {}
genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.}
}{$a$ ist eine Einheit genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.}
}{Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{-2}]
}
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{2} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eine
\definitionsverweis {euklidische Funktion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:
(1) Es gibt ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
\mathl{p \in R}{} mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f\neq 0}{,} eindeutig als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellen lässt mit einer Einheit $u$ und
\mathl{i \in \N}{.}
(2) $R$ ist ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
mit einer surjektiven euklidischen Funktion
\mathl{\delta: R \setminus \{0 \} \rightarrow \N}{,} die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.
a) Es gilt
\mathl{\delta(fg) = \delta(f) + \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.}
b) Es gilt
\mathl{f {{|}} g}{} genau dann, wenn
\mathl{\delta(f) \leq \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.}
Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1983$ und $1528$.
}
{} {}