Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede (additive) Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ die Form ${}\mathbb {Z} a$ besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.

Aufgabe (3 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise folgende Aussagen für einen kommutativen Ring ${}R$.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$) genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt ${}(a)=(b)$ genau dann, wenn ${}a$ und ${}b$ assoziiert sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }$ die Norm eine euklidische Funktion ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion ${}\delta$. Zeige, dass ein Element ${}f\in R$ (${}f\neq 0$) mit ${}\delta (f)=0$ eine Einheit ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement ${}p\in R$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eindeutig als ${}f=up^{i}$ darstellen lässt mit einer Einheit ${}u$ und ${}i\in \mathbb {N}$.

(2) ${}R$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt ${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$.

b) Es gilt ${}f{|}g$ genau dann, wenn ${}\delta (f)\leq \delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$. Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1983$ und ${}1528$.