Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede (additive) Untergruppe von die Form besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.


Aufgabe (3 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise folgende Aussagen für einen kommutativen Ring .

  1. Das Element ist ein Teiler von (also ) genau dann, wenn .
  2. ist eine Einheit genau dann, wenn .
  3. Ist ein Integritätsbereich, so gilt genau dann, wenn und assoziiert sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Ring die Norm eine euklidische Funktion ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion . Zeige, dass ein Element () mit eine Einheit ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element , , eindeutig als darstellen lässt mit einer Einheit und .

(2) ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion , die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt für alle .


b) Es gilt genau dann, wenn für alle . Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .