Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 7/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne zu
\mathl{p=13}{} und
\mathl{k=3}{} die Vielfachen
\mathl{ik \mod 13}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , 6}{} und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen $-6$ und $6$. Berechne damit die Vorzeichen
\mathl{\epsilon_i=\epsilon_i(3)}{} und bestätige
das Gaußsche Vorzeichenlemma
an diesem Beispiel.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei $e$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element
\mathl{k \in (\Z/(p))^ \times}{} genau dann eine $e$-te Wurzel besitzt, wenn
\mathl{k^{\frac{p-1}{e} }=1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und
\mathl{a \in \Z/(p)}{}
\definitionsverweis {primitiv}{}{.}
Zeige, dass von den $p$ Elementen aus
\mathl{\Z/(p^2)}{,} die auf $a$ abgebildet werden, genau
\mathl{p-1}{} Stück primitiv in
\mathl{\Z/(p^2)}{} sind. Finde für
\mathl{p=7}{} und
\mathl{a=3}{} dasjenige Element
\mathl{b \in \Z/(49)}{} mit
\mathl{b=a \mod 7}{,} das nicht primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde die Lösungen der Kongruenz
\mathdisp {5x^2+ 5x+4 =0 \mod 91} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Die Seite
enthält einen Beweis für das das Gaußsche Vorzeichenlemma. Kopieren Sie den Inhalt der Seite in eine Unterseite Ihrer Benutzerseite (am besten mit {{subst::}}). Begründen Sie in den an den roten Gleichheitszeichen verankerten Links, warum die Gleichungen stimmen. Sagen Sie insbesondere, ob die Gleichheit in $\Z$ gilt oder nur $\mod p$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich $n$ und $1$).
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass im Restklassenring $\Z/(n)$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente $a,b$ genau dann
\definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind, wenn
\mathl{(a)=(b)}{} ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von $n,a$ und $b$ aufbaut.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen $a$ und $b$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a)
}
{ = }{(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass aber $a$ und $b$ nicht
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
sind.
}
{} {}
Dafür ist die folgende Aufgabe für Leute gedacht, die gerne Diagramme am Computer erstellen.
\inputaufgabe
{2-4}
{
Erstelle einen Diagrammstammbaum, der für alle Zahlen (oder nur alle ungeraden Zahlen) $\leq 100$ die Wirkungsweise des in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus widergibt. Der Übersichtlichkeit halber könnte es sinnvoll sein, nur die Schritte von einer ungeraden Zahl zur algorithmisch folgenden ungeraden Zahl darzustellen. Die $1$ sollte die (Ziel-)Wurzel des Stammbaums sein. Ein solches Diagramm kann direkt in Wikiversity erstellt werden oder aber in einem von Wiki-Commons akzeptierten Format (dort hochladen und hier einbinden).
}
{} {}
Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
Sinn
\zusatzklammer {nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes} {} {.}
In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen. Da diese Aufgaben sich ähneln, können dafür maximal nur 5 Punkte gut geschrieben werden.
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die natürlichen Zahlen $\N$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
}
{} {}