Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 1/latex

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\setcounter{section}{1}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl, die modulo $8$ den Rest $7$ besitzt. Zeige, dass $n$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für jede natürliche Zahl $n \leq 30$, ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für jede natürliche Zahl $n \leq 10$, auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichne $r(n)$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. $r(n)$ ist die Anzahl der $4$-Tupel
\mathbeddisp {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \Z^4} {mit}
{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n} {}
{} {} {} {.} Es sei $u$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung
\mathdisp {r(2u) =3r(u)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{,} so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. } {Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt hiervon auch die Umkehrung. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei, die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} und die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{.} Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?

}
{} {}

Im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper wird oft mit folgender Definition von irreduzibel gearbeitet.

Ein nichtkonstantes \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n \in K[X]}{,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichne, heißt \definitionswort {irreduzibel}{,} wenn es keine Produktdarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {QR }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, die die \definitionsverweis {Gradbedingung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ <} {\deg (Q) }
{ <} { \deg (P) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.





\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} genau die \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} in $K[X]$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2) [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass die Multiplikation mit $f$, also die Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {x} {fx } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von
\mathl{(R,+,0)}{} ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} \anfuehrung{kürzen}{} kann? Beweise diese Eigenschaft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass $R$ \zusatzklammer {mit naheliegenden Verknüpfungen} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. Handelt es sich um einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } {f} { f\circ \varphi } {,} induziert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ring der stetigen Funktion auf $M$. Zeige, dass zwei zueinander \definitionsverweis {assoziierte}{}{} Elemente
\mathl{f,g \in R}{} die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es stetige Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R } {,} mit
\mathl{fg=0}{} derart gibt, dass für alle
\mathl{\delta >0}{} weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$

\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.} }{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente $r,s \in R$.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungvier{$-1$ ist eine \definitionsverweis {Einheit}{}{,} die zu sich selbst invers ist. }{Jede Einheit teilt jedes Element. }{Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. }{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(3) [X]}{} alle normierten \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass es im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{C(\R,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

}
{} {}

Für eine Lösung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. Lösungen bitte an die Autoren. Für akzeptierte und prämierte Erstlösungen gibt es hier zusätzlich 200 Punkte, und Sie wären damit automatisch zur Klausur zugelassen.




\inputaufgabe
{200}
{

Für positive ganze Zahlen $n$ betrachten wir folgenden Algorithmus. \einrueckung{Wenn $n$ gerade ist, so ersetze $n$ durch die Hälfte.} \einrueckung{Wenn $n$ ungerade ist, so multipliziere $n$ mit $3$ und addiere dann $1$ dazu.} Frage \zusatzklammer {Collatz-Problem} {} {:} Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl $n$ früher oder später bei $1$ landet?

}
{} {}

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