Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Es seien ${}x,y\in R$ Elemente in einem kommutativen Ring ${}R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu

${}Rx\subseteq Ry\,$

äquivalent.

1. ${}x$ teilt ${}y$.
2. ${}x$ wird von ${}y$ geteilt.
3. ${}y$ wird von ${}x$ geteilt.
4. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}y$.
5. ${}x$ ist ein Vielfaches von ${}x$.
6. ${}y$ teilt ${}x$.
7. ${}Rx\cap Ry=Rx$.
8. Jedes Vielfache von ${}y$ ist auch ein Vielfaches von ${}x$.
9. Jeder Teiler von ${}y$ ist auch ein Teiler von ${}x$.
10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.

Aufgabe

a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ eine Untergruppe von ${}R$ ist.

b) Zeige, dass für ${}R=\mathbb {Z}$ die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$ und eine Untergruppe ${}U\subseteq R$, die kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$

die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in T\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu ${}T=\{0\}\subseteq \mathbb {R}$ im Sinne von Aufgabe 2.7. Ist dies ein Hauptideal?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b,f\in R$ Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

1) Wenn ${}b$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ist, so ist auch ${}fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}fa_{1},fa_{2},\ldots ,fa_{n}$.

2) Wenn ${}f$ ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in R$ zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integritätsbereich. Zeige, dass ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von ${}(p)$ gibt, nämlich ${}(p)$ selbst und ${}(1)=R$.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe 2.12 bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.

Aufgabe *

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Der Begriff des größten gemeinsamen Teilers wird innerhalb der ganzen Zahlen häufig wie folgt definiert.

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Aufgabe

Es sei ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der ${}a_{i}$  (im Sinne der allgemeinen Ringdefinition) mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation ${}\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5+2{\mathrm {i} }$ und ${}3+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion ${}\delta$. Zeige, dass ein Element ${}f\in R$ (${}f\neq 0$) mit ${}\delta (f)=0$ eine Einheit ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}n$ (verschiedene) natürliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von ${}n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise folgende Aussagen für einen kommutativen Ring ${}R$.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$) genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt ${}(a)=(b)$ genau dann, wenn ${}a$ und ${}b$ assoziiert sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Ring ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {2}}{\mathrm {i} }$ die Norm eine euklidische Funktion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement ${}p\in R$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eindeutig als ${}f=up^{i}$ darstellen lässt mit einer Einheit ${}u$ und ${}i\in \mathbb {N}$.

(2) ${}R$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt ${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$.

b) Es gilt ${}f{|}g$ genau dann, wenn ${}\delta (f)\leq \delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$. Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?