Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe *

Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu

äquivalent.

  1. teilt .
  2. wird von geteilt.
  3. wird von geteilt.
  4. ist ein Vielfaches von .
  5. ist ein Vielfaches von .
  6. teilt .
  7. .
  8. Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
  9. Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
  10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.


Aufgabe

a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring eine Untergruppe von ist.

b) Zeige, dass für die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring und eine Untergruppe , die kein Ideal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

die Teilmenge

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu im Sinne von Aufgabe 2.7. Ist dies ein Hauptideal?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

1) Wenn ein größter gemeinsamer Teiler der ist, so ist auch ein größter gemeinsamer Teiler der .

2) Wenn ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe

Es seien zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integritätsbereich. Zeige, dass und teilerfremd sind.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und , . Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von gibt, nämlich selbst und .


Aufgabe

Seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung

die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe 2.12 bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Der Begriff des größten gemeinsamen Teilers wird innerhalb der ganzen Zahlen häufig wie folgt definiert.

Seien natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.


Aufgabe

Sei eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der   (im Sinne der allgemeinen Ringdefinition) mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation der größte gemeinsame Teiler ist.


Aufgabe *

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion . Zeige, dass ein Element () mit eine Einheit ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei und seien (verschiedene) natürliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise folgende Aussagen für einen kommutativen Ring .

  1. Das Element ist ein Teiler von (also ) genau dann, wenn .
  2. ist eine Einheit genau dann, wenn .
  3. Ist ein Integritätsbereich, so gilt genau dann, wenn und assoziiert sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im Ring die Norm eine euklidische Funktion ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element , , eindeutig als darstellen lässt mit einer Einheit und .

(2) ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion , die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt für alle .


b) Es gilt genau dann, wenn für alle . Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?



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