Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 1

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Übungsaufgaben

Aufgabe

  1. Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Quadratsumme darstellen lässt,
  2. Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Quadratsumme von positiven Zahlen darstellen lässt.


Aufgabe

Sei eine natürliche Zahl, die modulo den Rest besitzt. Zeige, dass nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.


Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl , ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.


Aufgabe

Bestimme für jede natürliche Zahl , auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der -Tupel


Aufgabe

Zu einer natürlichen Zahl bezeichne die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ist die Anzahl der -Tupel

Es sei eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung


Aufgabe *

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  2. Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die Variable irreduzibel und prim ist.


Aufgabe

Bestimme im Polynomring , wobei ein Körper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?


Im Polynomring über einem Körper wird oft mit folgender Definition von irreduzibel gearbeitet.

Ein nichtkonstantes Polynom , wobei einen Körper bezeichne, heißt irreduzibel, wenn es keine Produktdarstellung

gibt, die die Gradbedingung

erfüllt.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in sind.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Multiplikation mit , also die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus von ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich „kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge der stetigen Funktionen von nach . Zeige, dass (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum und der Ring der stetigen Funktion auf . Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.


Aufgabe *

Zeige, dass es stetige Funktionen

mit derart gibt, dass für alle weder noch die Nullfunktion ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.


Für eine Lösung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. Lösungen bitte an die Autoren. Für akzeptierte und prämierte Erstlösungen gibt es hier zusätzlich 200 Punkte, und Sie wären damit automatisch zur Klausur zugelassen.

Aufgabe (200 Punkte)

Für positive ganze Zahlen betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn gerade ist, so ersetze durch die Hälfte.
Wenn ungerade ist, so multipliziere mit und addiere dann dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl früher oder später bei landet?


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