Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für alle
\mathl{n \leq 30}{,} ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen
\mathl{100}{} und
\mathl{200}{} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der Winkel
\mathdisp {1^{\circ}, \, 2^{\circ} , \, 3^{\circ} , \, 4^{\circ} , \ldots , 10^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der Winkel
\mathdisp {10^{\circ}, \, 20^{\circ} , \, 30^{\circ} , \, 40^{\circ} , \ldots , 350^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde die kleinste Zahl $n \geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{} und
\mathl{q=2p+1}{.} Es sei $a$ gegeben mit
\mathl{2 \leq a \leq q-2}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} modulo $q$ ist, wenn es kein \definitionsverweis {Quadratrest}{}{} modulo $q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{,}
\mathl{q=2p+1}{.} Zeige, dass $q$ ein Teiler von
\mathl{M_p+2=2^p+1}{} genau dann ist, wenn
\mathl{q=\pm 3 \mod 8}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{1105}{} und
\mathl{1729}{} \definitionsverweis {Carmichael-Zahlen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl $>3$ mit der Eigenschaft, dass auch
\mathl{2p-1}{} und
\mathl{3p-2}{} prim sind. Zeige, dass dann
\mathdisp {n=p(2p-1)(3p-2)} { }
eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.gif} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }

\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {en.wikiversity.org} {PD} {}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Sophie-Germain-Primzahl}{}{.} Zeige, dass $2$ eine Primitivwurzel modulo
\mathl{q=2p+1}{} ist genau dann, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $n$ eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{.} Zeige, dass $n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren \maabbeledisp {} {\Z/(n)} {\Z/(n) } {a} {a^n } {,} genau dann die Identität ist, wenn $n$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{,} eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{} oder gleich $1$ ist.

}
{} {}