Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme für alle  $n\le 30$,  ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen $100$ und $200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Welche der Winkel

$1^{\circ },2^{\circ },3^{\circ },4^{\circ },\dots ,10^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe

Welche der Winkel

$10^{\circ },20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ },\dots ,350^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe *

Finde die kleinste Zahl  $n\ge 100$  derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl und  $q=2p+1$.  Es sei $a$ gegeben mit  $2\le a\le q-2$.  Zeige, dass $a$ genau dann eine primitive Einheit modulo $q$ ist, wenn es kein Quadratrest modulo $q$ ist.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl,  $q=2p+1$.  Zeige, dass $q$ ein Teiler von  $M_p+2=2^p+1$  genau dann ist, wenn  $q=\pm 3mod8$  ist.

Aufgabe *

Zeige: Für eine Primzahl $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ quasiprim zur Basis $2$.

Aufgabe

Zeige, dass $1105$ und $1729$ Carmichael-Zahlen sind.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl $>3$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p-1$ und $3p-2$ prim sind. Zeige, dass dann

$n=p(2p-1)(3p-2)$

eine Carmichael-Zahl ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass $2$ eine Primitivwurzel modulo  $q=2p+1$  ist genau dann, wenn  $p=1mod4$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $n$ eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass $n$ ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren

$\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(n),a⟼a^n,$

genau dann die Identität ist, wenn $n$ eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich $1$ ist.