Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme für alle , ob das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen zwischen und mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.


Aufgabe

Welche der Winkel

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?


Aufgabe

Welche der Winkel

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?


Aufgabe *

Finde die kleinste Zahl derart, dass zugleich das reguläre -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass eine Summe von zwei Quadraten ist.


Aufgabe

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl und . Sei gegeben mit . Zeige, dass genau dann eine primitive Einheit modulo ist, wenn es kein Quadratrest modulo ist.


Aufgabe

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl, . Zeige, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn ist.


Aufgabe *

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .


Aufgabe

Zeige, dass und Carmichael-Zahlen sind.


Aufgabe

Sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch und prim sind. Zeige, dass dann

eine Carmichael-Zahl ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Sophie-Germain-Primzahl. Zeige, dass eine Primitivwurzel modulo ist genau dann, wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Carmichael-Zahl. Zeige, dass ungerade und mindestens drei Primfaktoren besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Potenzieren

genau dann die Identität ist, wenn eine Primzahl, eine Carmichael-Zahl oder gleich ist.


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