Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 15

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.


Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe , die durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Eine solche Untergruppe von nennt man auch ein gebrochenes Ideal.

Aufgabe *

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei die Menge der Primzahlen und

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass trivial ist.


Aufgabe

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass nicht injektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.


Aufgabe

Zeige, dass algebraisch über ist und bestimme das Minimalpolynom davon.


Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus gibt.


Aufgabe

Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe

Sei ein endlicher Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element algebraisch über ist.


Aufgabe *

Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei ein über algebraisches Element. Sei ein normiertes Polynom mit . Dann ist das Minimalpolynom von genau dann, wenn es irreduzibel ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei

der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei

  1. Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
  2. Berechne die Norm und die Spur von .
  3. Bestimme das Minimalpolynom von .
  4. Finde das Inverse von .
  5. Berechne die Diskriminante der Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.


In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein Polynom vom Grad . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. und die (formale) Ableitung sind teilerfremd.
  2. und die (formale) Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
  3. besitzt in keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen.
  4. Es gibt einen Erweiterungskörper , so dass als Polynom in in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass separabel ist.

Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.



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