Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 15
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.
Aufgabe
Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.
Aufgabe
Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.
Aufgabe
Eine solche Untergruppe von nennt man auch ein gebrochenes Ideal.
Aufgabe *
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen
erzeugt wird.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.
Aufgabe
Zeige, dass algebraisch über ist und bestimme das Minimalpolynom davon.
Aufgabe
Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus gibt.
Aufgabe
Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe
Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).
Aufgabe
Es sei ein endlicher Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element algebraisch über ist.
Aufgabe *
Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung
Aufgabe
Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei ein über algebraisches Element. Es sei ein normiertes Polynom mit . Dann ist das Minimalpolynom von genau dann, wenn es irreduzibel ist.
Aufgabe (8 Punkte)
Es sei eine Primzahl und sei
der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei
- Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
- Berechne die Norm und die Spur von .
- Bestimme das Minimalpolynom von .
- Finde das Inverse von .
- Berechne die Diskriminante der Basis .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei
ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.
In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und sei ein Polynom vom Grad . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
- und die (formale) Ableitung sind teilerfremd.
- und die (formale) Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
- besitzt in keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen.
- Es gibt einen Erweiterungskörper , so dass als Polynom in in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass separabel ist.
Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.
Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.
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