Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel

Die Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,x⟼f(x)=\{\begin{array}{c}x\sin \frac{1}{x}\text{ bei }x>0,\\ 0\text{ bei }x=0,\end{array}$

ist stetig nach Aufgabe, aber nicht rektifizierbar. Für jedes  $x_n=\frac{1}{n\pi +\frac{1}{2}\pi }$  ist  $f(x_n)=\pm x_n$,  wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes $n$ ist daher  $|f(x_n)-f(x_{n-1})|\ge 2x_n$.  Wählt man dann die Unterteilungspunkte

$0<x_k<x_{k-1}<\dots <x_1<x_0=\frac{2}{\pi }<1,$

so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich

$\sum _{n=1}^{k}2x_n=2\cdot \sum _{n=1}^k\frac{1}{n\pi +\frac{1}{2}\pi }=\frac{2}{\pi }\cdot \sum _{n=1}^k\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\ge \frac{2}{\pi }\cdot \sum _{n=1}^k\frac{1}{n+1}.$

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für $k\to \mathrm{\infty }$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.