Kurvenlänge/x sin 1 durch x/Nicht rektifizierbar/Beispiel

Die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$

ist stetig nach Aufgabe, aber nicht rektifizierbar. Für jedes ${}x_{n}={\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}$ ist ${}f(x_{n})=\pm x_{n}$, wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist. Für jedes ${}n$ ist daher ${}\vert {f(x_{n})-f(x_{n-1})}\vert \geq 2x_{n}$. Wählt man dann die Unterteilungspunkte

${}0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,$

so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich

${}\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.$

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist dieser Ausdruck für ${}{k}\rightarrow \infty$ nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.