Kurze exakte Sequenz/Modulo Nichtnullteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Die Exaktheit von

$M/fM\longrightarrow N/fN\longrightarrow P/fP\longrightarrow 0$

ergibt sich wegen

${}M/fM=M\otimes _{R}R/(f)\,$

(nach Fakt  (2)) aus der Rechtsexaktheit des Tensorproduktes (Fakt  (2)). Es ist also noch die Injektivität von ${}M/fM\rightarrow N/fN$ zu zeigen. Es sei hierzu ${}[m]\in M/fM$ vorgegeben mit der Eigenschaft, dass das Bild davon in ${}N/fN$ gleich ${}0$ ist. Das bedeutet

${}m=nf\,$

in ${}N$ mit einem ${}n\in N$. Wegen

${}f\psi (n)=\psi (nf)=\psi (m)=0\,$

in ${}P$ und der Nichtnullteilereigenschaft ist

${}\psi (n)=0\,.$

Das bedeutet ${}n\in M$ und somit

${}[m]=0\,$

in ${}M/fM$.

Zur bewiesenen Aussage