Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $U,V,W,M$ $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem $R$-Modulhomomorphismus $\phi :U\to V$ gibt es einen natürlichen $R$-Modulhomomorphismus $\phi {\otimes }_R{\mathrm{Id}}_M:U{\otimes }_{R}M\to V{\otimes }_{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U⟶V⟶W⟶0$

   von $R$-Moduln ist auch

   $U{\otimes }_{R}M⟶V{\otimes }_{R}M⟶W{\otimes }_{R}M⟶0$

   exakt.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen