Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}U,V,W,M$ ${}R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es einen natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \otimes _{R}\operatorname {Id} _{M}\colon U\otimes _{R}M\rightarrow V\otimes _{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$

   von ${}R$-Moduln ist auch

   $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$

   exakt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen