Laplace-Raum/Primzahl/Unabhängige Ereignisse/Beispiel

Es sei ein Laplace-Raum ${}M$ gegeben, dessen Anzahl eine Primzahl ${}p$ ist. Dann sind zwei Ereignisse ${}E,F\subseteq M$ nur dann unabhängig, wenn eines von ihnen leer oder gleich ${}M$ ist. Die Unabhängigkeitsbedingung bedeutet ja für einen Laplaceraum

${}{\frac {\#\left(E\cap F\right)}{p}}={\frac {\#\left(E\right)}{p}}\cdot {\frac {\#\left(F\right)}{p}}\,.$

Dies bedeutet

${}p\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,.$

Somit teilt die Primzahl ${}p$ das Produkt ${}{\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}$. Nach dem Lemma von Euklid kann das nur sein, wenn ${}p$ einen der Faktoren teilt. Dann muss aber die Anzahl eines Faktors, sagen wir von ${}{\#\left(E\right)}$, gleich ${}0$ oder ${}p$ sein, was ${}E=\emptyset$ oder ${}E=M$ bedeutet.