Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum

Einleitung

Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen $p$ -normierbaren Raum und kann kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

Zielsetzung

In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls $p$ -Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine $p$ -Norm erzeugt wird.

Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten

Sei ${\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in $\mathbb {R}$ der Form

q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(q_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}

Beispiel - Konvergenzradius Potenzreihe

Für ein $\alpha >0$ hat die folgende Reihe

q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha ^{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(\alpha ^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}

den Konvergenzradius ${\frac {1}{\alpha }}$

Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihen

Dabei müssen die Potenzreihen ${\textstyle p\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe

q(t)=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(k)_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}

hat z.B. keinen positiven Konvergenzradius, weil die Folge der Koeffizienten $(k)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge $V$ des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten.

Definition des Vektorraums

Wir definieren nun den Vektorraum $V\subset \mathbb {R} ^{\infty }[t]$ als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit $0<p<1$ . Diese $p$ definiert später die $p$ -Homogenität der p-Norm:

\|q\|_{p}=\sum _{k=0}^{\infty }|q_{k}|^{p}{\mbox{ mit }}(q_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} _{0}}

Damit der Vektorraum $V:=\{q\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]\ :\ \|q\|_{p}<\infty \}$ definiert.

Bemerkung

Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional $\|\cdot \|_{p}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen $q\in V$ eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer p-Norm nachgewiesen werden.

Aufgabe für Studierende

Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{p}:V\longrightarrow \mathbb {R} _{o}^{+}}$ die ersten drei Eigenschaften ${\textstyle p}$ -Norm auf ${\textstyle V}$ erfüllt:

(PN1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q\in V}:\left\|q\right\|_{p}\geq 0}$
(PN2) ${\textstyle \displaystyle \left\|q\right\|_{p}=0\Longrightarrow q=0_{V}}$
(PN3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot q\right\|_{p}=|\lambda |^{p}\cdot \left\|q\right\|_{p}}$

Dabei ist $0_{V}\in V$ das Nullpolynom aus $V$ ist.

Bemerkung zu PN4

Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine p-Norm ist noch eine Vorbereitung mit dem #Lemma - Subadditivität p-Konvexität notwendig

(PN4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q,r\in V}:\left\|q+r\right\|_{p}\leq \left\|q\right\|_{p}+\left\|r\right\|_{p}}$

Lemma - Subadditivität p-Konvexität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit ( ${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ) und ${\textstyle 0<p<1}$ , dann gilt für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.

Beweis

Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.

Fall 1: $\alpha =0$ und
Fall 2: $\alpha \not =0$

Beweis - Fall 1

Für ${\textstyle \alpha =0}$ folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:

|\alpha +\beta |^{p}=|\beta |^{p}=0+|\beta |^{p}=\underbrace {|\alpha |^{p}} _{=0}+|\beta |^{p}

Beweis - Fall 2.1

Für ${\textstyle \alpha \not =0}$ formuliert man die Behauptung

|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}

durch Multiplikation mit ${\textstyle {\frac {1}{|\alpha |^{p}}}}$ wie folgt um:

{\begin{array}{rcl}|\alpha +\beta |^{p}&\leq &|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\ \ \Longleftrightarrow \\|1+\gamma |^{p}&\leq &1+|\gamma |^{p}{\mbox{ mit }}\gamma :={\frac {\beta }{\alpha }}\\\end{array}}

Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion

Weil die Funktion $g:\mathbb {R} _{o}^{+}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ mit $g(x):=x^{p}$ ein streng monotone Funktion auf $\mathbb {R} _{o}^{+}$ ist und die Dreiecksungleichung auf $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$ gilt erhält man für $\gamma \in \mathbb {K}$ :

|1+\gamma |\leq |1|+|\gamma |\Longrightarrow g(|1+\gamma |)\leq g(|1|+|\gamma |)

und damit gilt $|1+\gamma |^{p}\leq {\big (}|1|+|\gamma |{\big )}^{p}={\big |}|1|+|\gamma |{\big |}^{p}$ .

Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt,

|1+\gamma |^{p}\leq 1+|\gamma |^{p}

benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung

{\big |}1+\underbrace {|\gamma |} _{=t}{\big |}^{p}\leq 1+{\underbrace {|\gamma |} _{=t}}^{p}

Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

Weil ${\textstyle |1+\gamma |^{p}\leq |1+|\gamma ||^{p}}$ gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare ${\textstyle t\geq 0}$ abzuschätzen und man zeigt dann ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$ .

Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion

Man formt die Ungleichung ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$ zu ${\textstyle (1+t)^{p}-t^{p}\leq 1}$ und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion $f(t)=(1+t)^{p}-t^{p}$ mit $t\in \mathbb {R} _{o}^{+}$ .

Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion

Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion:

{\begin{array}{rcl}f:\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto (1+t)^{p}-t^{p}{\mbox{ mit der Ableitung }}\\f':\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto \underbrace {\left({\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}-{\frac {1}{t^{1-p}}}\right)} _{<0}\cdot p\end{array}}

Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion

Mit $t>0$ gilt $(1+t)^{1-p}>t^{1-p}$ und damit ${\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}<{\frac {1}{t^{1-p}}}$ . Damit ist $f$ für alle $t>0$ monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und ${\textstyle f(0)=1}$ und $f'(t)<0$ für alle $t>0$ gilt ${\textstyle f(t)\leq 1}$ für alle $t\geq 0$ . Damit folgt die Behauptung. $\Box$

Aufgaben für Studierende

Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die p-Norm über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur Subadditivität bzgl. p-Konvexität:
(PN4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle q,r\in V}:\left\|q+r\right\|_{p}\leq \left\|q\right\|_{p}+\left\|r\right\|_{p}}$
Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf $V$ . Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf $V$ (d.h. für $q,r\in V$ gilt auch $q\cdot r\in V$ .
Ist die oben definierte p-Norm auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für $q,r\in V$ gilt auch $\|q\cdot r\|_{p}\leq \|q\|_{p}\cdot \|r\|_{p}$ .