Limes von Abbildungen/Verknüpfung von Abbildungen/Aufgabe

Es seien ${}D,E,F$ metrische Räume und sei

$h\colon D\longrightarrow E$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}P\in D$ ein Berührpunkt von ${}D\setminus \{P\}$ und

${}h(P)=Q\in E\,$

ein Berührpunkt von ${}E\setminus \{Q\}$. Es sei

$g\colon E\setminus \{Q\}\longrightarrow F$

eine Abbildung und es sei vorausgesetzt, dass

$\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$

existiert. Zeige, dass dann auch

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow P}\,g(h(x))$

existiert und mit ${}\operatorname {lim} _{y\rightarrow Q}\,g(y)$ übereinstimmt.

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