Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  und betrachten die Matrix

$M_{𝔴}^{𝔳}({\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar $(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

$\begin{array}{cc}(M_{𝔴}^{𝔳}({\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M)){)}_{ij}& =i-\text{te Koordinate von }({\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M))(v_j)\\ & =i-\text{te Koordinate von }\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i\\ & =a_{ij}.\end{array}$

Es sei nun $\phi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

${\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis $v_1,\dots ,v_n$ übereinstimmen. Es ist

$({\phi }_{𝔴}^{𝔳}(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )))(v_j)=\sum _{i=1}^m(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi ){)}_{ij}{w}_i.$

Dabei ist nach Definition der Koeffizient $(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi ){)}_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\phi (v_j)$ bezüglich der Basis $w_1,\dots ,w_m$. Damit ist diese Summe gleich $\phi (v_j)$.

Zur bewiesenen Aussage