Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix und betrachten die Matrix

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist

Sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis übereinstimmen. Es ist

Dabei ist nach Definition der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Basis . Damit ist diese Summe gleich .

Zur bewiesenen Aussage