Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Beweis

Beweis

Es gibt eine Kette

{}\operatorname {kern} \varphi \subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{2}\subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{3}\subseteq ...\,.

Wegen der Endlichkeit der Dimension kann es hierbei nur endlich viele echte Inklusionen geben, daher gibt es ein ${}r$ mit

{}\operatorname {kern} \varphi ^{r}=\operatorname {kern} \varphi ^{s}\,

für alle ${}s\geq r$ . Wir setzen

{}U:=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,

und

{}W:=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.

Sei

x\in U\cap W.

Dann ist ${}\varphi ^{r}(x)=0$ und es gibt ein ${}y\in V$ mit

{}x=\varphi ^{r}(y)\,.

Daher ist

{}\varphi ^{2r}(y)=\varphi ^{r}(\varphi ^{r}(y))=\varphi ^{r}(x)=0\,

und nach der Wahl von ${}r$ ist bereits

{}x=\varphi ^{r}(y)=0\,.

Daher ist ${}U\cap W=0$ . Nach der Dimensionsformel ist

{}\dim _{K}{\left(U\right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi ^{r}\right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi ^{r}\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.

Daher ist ${}U+W=V$ und insgesamt

{}V=U\oplus W\,.

Wegen

{}\varphi ^{r}(\varphi (U))=\varphi (\varphi ^{r}(U))=\varphi (0)=0\,

ist

{}\varphi (U)\subseteq \operatorname {kern} \varphi ^{r}=U\,.

Wegen

{}\varphi (W)=\varphi (\varphi ^{r}(V))=\varphi ^{r}(\varphi (V))\subseteq \varphi ^{r}(V)=W\,

ist auch ${}W$ invariant.