Lineare Abbildung/R^2/Orthogonal/Orthonormal/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$ gegebene lineare Abbildung. Die Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$, die eine Orthogonalbasis (sogar Orthonormalbasis) ist, wird auf ${}e_{1},2e_{2}$ abgebildet, was eine Orthogonalbasis ist. Wegen

${}\left\langle e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =0\,$

ist ${}e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2}$ eine Orthogonalbasis. Die Bildbasis davon ist

$e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2},$

was wegen

${}\left\langle e_{1}+2e_{2},e_{1}-2e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{1}\right\rangle -4\left\langle e_{2},e_{2}\right\rangle =-3\,$

keine Orthogonalbasis ist.

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