Lineare Abbildung/Z^n in Z^m/Injektiv/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

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