Lineare Abbildung/Z^n in Z^n/Injektiv/Duale Sequenz/Isomorph/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei ${}D$ endlich ist (somit ist ${}m=n$). Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }\left(D,\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\longrightarrow E\longrightarrow 0$

führt, wobei ${}E$ isomorph zu ${}D$ ist.

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