Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so gibt es eine lineare Abbildung

$\psi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$

mit

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{K^{n}}=\psi \circ \varphi \,.$

Es sei ${}M$ die Matrix zu ${}\varphi$ und ${}N$ die Matrix zu ${}\psi$. Nach Fakt ist dann

${}M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$

und dies bedeutet die Invertierbarkeit von ${}M$. Die Rückrichtung geht genauso.

Zur bewiesenen Aussage