Lineare Abbildungen/Produkt/Determinante/Aufgabe/Lösung

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Wir schreiben die Produktabbildung als

Es seien Basen von und es sei die Matrix zu bezüglich der Basis von . Dann wird

bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix

beschrieben, wobei die Einheitsmatrix der Länge bezeichnet. Hier steht also die Matrix

und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich . Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist somit

b) Es sei

und

eine Isomorphie. Dann ist

mit Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung der Produktabbildung . Die Behauptung folgt also aus Teil a).
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