Wir schreiben die Produktabbildung als
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Es seien Basen von und es sei die Matrix zu bezüglich der Basis von . Dann wird
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bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix
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beschrieben, wobei die Einheitsmatrix der Länge bezeichnet. Hier steht also die Matrix
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und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich . Nach
dem Determinantenmultiplikationssatz
ist somit
b) Es sei
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und
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eine Isomorphie. Dann ist
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mit
Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung
der Produktabbildung
. Die Behauptung folgt also aus Teil a).