Lineare Abbildungen/Produkt/Determinante/Aufgabe

a) Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume und

$L_{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung

$L_{1}\times \cdots \times L_{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Gleichheit

${}\det \left(L_{1}\times \cdots \times L_{n}\right)=\det L_{1}\cdots \det L_{n}\,$

gilt.

b) Es seien ${}V$ und ${}T$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume und

$L\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei

$\varphi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)},\,f\longmapsto L\circ f,$

die induzierte Abbildung. Zeige

${}\det \varphi ={\left(\det L\right)}^{\dim _{K}{\left(T\right)}}\,.$

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