Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Lösungsmenge ${}S$ nicht leer und sei ${}P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei ${}U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von ${}K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit ${}S=P+U$ zeigen. Wenn ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$ ist, so bedeutet dies

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,m$. Für ${}P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$ ist dann

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist ${}P+v\in S$. Wenn umgekehrt ${}Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$ eine Lösung ist, so ist

${}Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$

und diese Differenz erfüllt

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$

Also ist ${}Q-P\in U$ und somit ${}Q=P+(Q-P)\in P+U$.

Zur bewiesenen Aussage