Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Lösungsmenge ${}S$ nicht leer und sei  ${}P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$  ein beliebig gewählter Punkt. Es sei ${}U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von ${}K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit  ${}S=P+U$  zeigen. Wenn  ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$  ist, so bedeutet dies

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$

für alle  ${}i=1,\ldots ,m$.  Für  ${}P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$  ist dann

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist  ${}P+v\in S$.  Wenn umgekehrt  ${}Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$  eine Lösung ist, so ist

${}Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$

und diese Differenz erfüllt

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$

Also ist  ${}Q-P\in U$  und somit  ${}Q=P+(Q-P)\in P+U$. 

Zur bewiesenen Aussage