Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$.

Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des $K^n$. Dabei kann man jede Lösung  $P\in S$  als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen