Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/51/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

2. Man nennt

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

   den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

3. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$-Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
   1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
   2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
   3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
4. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

5. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

6. Ein affiner Raum über einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge ${}E$ zusammen mit einer Abbildung

   $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$

   die den drei Bedingungen

   1. ${}P+0=P$ für alle ${}P\in E$,
   2. ${}(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle ${}v,w\in V$ und ${}P\in E$,
   3. Zu je zwei Punkten ${}P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor ${}v\in V$ mit ${}Q=P+v$,

   genügt.

Zur gelösten Aufgabe