Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/55/Aufgabe/Lösung

1. Man sagt, dass die Menge $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.
2. Die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als Linearkombination der $v_i$ darstellen kann.
3. Unter der beschreibenden Matrix zu $\phi$ bezüglich der Basen versteht man die $m\times n$-Matrix

   $M=M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )=(a_{ij}{)}_{ij},$

   wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\phi (v_j)$ bezüglich der Basis $𝔴$ ist.

4. Zu $i\in \{1,\dots ,n\}$ sei $M_i$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch

   $detM=\{\begin{array}{cc}{a}_{11},& \text{falls }n=1,\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}det{M}_i& \text{ für }n\ge 2.\end{array}$

5. Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen

   $P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

   mit $a_i\in K$, $n\in \mathbb{N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   $X^n\cdot X^m:=X^{n+m}$

   definiert ist.

6. Man nennt

   ${\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\mathrm{kern}{(\phi -\lambda \mathrm{Id})}^n$

   den Hauptraum zu $\phi$ zum Eigenwert $\lambda$.

Zur gelösten Aufgabe