Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung

Eine Isomorphie zwischen einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ und dem Standardraum $K^n$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in $V$. Zu einer Basis

$𝔳=v_1,\dots ,v_n$

gehört die lineare Abbildung

${\mathrm{\Psi }}_{𝔳}:K^n⟶V,e_i⟼v_i,$

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$-ten Standardvektor den $i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

$(a_1,\dots ,a_n)⟼\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i.$

Die Umkehrabbildung

$x={\mathrm{\Psi }}_{𝔳}^{-1}:V⟶K^n$

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die $i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

$x_i=p_i\circ x:V⟶K,v⟼({\mathrm{\Psi }}_{𝔳}^{-1}(v){)}_i,$

heißt $i$-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit $v_i^{\ast }$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor  $v\in V$  in der eindeutigen Darstellung

$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$

die Koordinate ${\lambda }_i$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung $v_i^{\ast }$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_i$.

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

$\mathrm{\Psi }:K^n⟶V$

gegeben ist, so sind die Bilder

$\mathrm{\Psi }(e_i),i=1,\dots ,n,$

eine Basis von $V$.