Vektorraum/Basen und K^n Isomorphie/Bemerkung

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Eine Isomorphie zwischen einem -dimensionalen Vektorraum und dem Standardraum ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in . Zu einer Basis

gehört die lineare Abbildung

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem -ten Standardvektor den -ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Fakt eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

Die Umkehrabbildung

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die -te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

heißt -te Koordinatenfunktion. Sie wird mit bezeichnet, und gibt zu einem Vektor in der eindeutigen Darstellung

die Koordinate aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor .

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

gegeben ist, so sind die Bilder

eine Basis von .