Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$.
2. Eine Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

   1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
   2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.
3. Sei

   ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,.$

   Dann heißt

   ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

   die Spur von ${}M$.

4. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

   $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

5. Die lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ derart gibt, dass die ${}n$-te Hintereinanderschaltung

   $\varphi ^{n}=0$

   ist.

6. Eine bijektive affine Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   heißt affiner Isomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe