Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Eine Abbildung

   $\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

   heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

   1. ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$,
   2. ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
   3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

   4. Für ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

2. Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.
3. Die Bilinearform heißt positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
6. Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Zur gelösten Aufgabe