Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe/Lösung

1. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

   ${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

   den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   heißt Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

3. Man nennt einen Endomorphismus

   $\psi \colon V\longrightarrow V$

   adjungiert zu ${}\varphi$, wenn

   ${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$ gilt.

4. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.
   1. ${}e\in H$.
   2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
   3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.
5. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

   ${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

   gilt.

6. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte ${}K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form
   1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
   2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,

   erzeugte ${}K$-Untervektorraum von ${}F$. Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

   $V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

   bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe