Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

   ${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,$

   den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

2. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

   gilt.

3. Man nennt einen Endomorphismus

   $\psi \colon V\longrightarrow V$

   adjungiert zu ${}\varphi$, wenn

   ${}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle =\left\langle v,\psi (w)\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$ gilt.

4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

   ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

   existiert.

6. Zu den ${}K$-linearen Abbildungen

   $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

   heißt die lineare Abbildung

   $V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n}),$

   das Tensorprodukt der ${}\varphi _{i}$.

Zur gelösten Aufgabe