Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal zueinander, wenn

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

   ist.

2. Die ${}n\times n$-Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

3. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt selbstadjungiert, wenn

   ${}\left\langle \varphi (u),v\right\rangle =\left\langle u,\varphi (v)\right\rangle \,$

   für alle ${}u,v\in V$ gilt.

4. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

5. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
6. Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Zur gelösten Aufgabe