Lineare Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/1/Aufgabe/Kommentar

Es liegt eine Differentialgleichung höherer Ordnung vor, genauer, der Ordnung 2. Man kann diese durch Einführung von zusätzlichen Variablen in ein Differentialgleichungssystem mit Differentialgleichungen von erster Ordnung transformieren, siehe Fakt. Oftmals ist es danach trotzdem noch sehr schwierig dieses System zu lösen.

Wir sind aber in der guten Situation, dass unsere Differentialgleichung von besonderer Form ist. Sie ist von Ordnung 2, und die Funktion ${}y$ und ihre Ableitungen kommen nur linear vor. Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion in ${}t$ multipliziert mit einem Polynom ${}p(t)$. Anders als in Aufgabe ist es in diesem Fall ein Polynom vom Grad ${}0$, nämlich ${}p(t)=1$.

Differentialgleichungen von dieser Form können mit Hilft des Ansatzes vom Typ der rechten Seite, Fakt, gelöst werden. Das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung ist ${}x^{2}-2x+5$ und wir sehen durch einsetzen, dass der Parameter ${}c$, welcher hier 1 ist, keine Nullstelle ist. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite liefert uns demnach, dass es eine Lösung der Form

$x^{0}q(t)e^{1\cdot t}=q(t)e^{t}$

gibt. Es ist bisher nur eine Ansatzlösung. Das Polynom ${}q$ hat dabei denselben Grad wie das Polynom ${}p$ und muss noch genauer bestimmt werden. Das wird im Allgemeinen gemacht, indem für ${}q$ ein entsprechendes Polynom mit noch zu bestimmenden Koeffizienten angesetzt wird. Einsetzen der Ansatzlösung für ${}y$ und deren Ableitungen auf der linken Seite der Differentialgleichung macht es möglich die Koeffizienten von ${}q$ durch Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite zu bestimmen. Siehe dazu auch die Lösung von Aufgabe.

In dieser Aufgabe ist es recht leicht, denn wie ist der Grad von ${}q$?

Zur kommentierten Aufgabe