Lineare Differentialgleichung/y' ist 2t durch t^2+1 y/Störfunktion ist t^2/Aufgabe/Lösung

a) Eine Stammfunktion von ${}{\frac {2t}{t^{2}+1}}$ ist

$\ln {\left(t^{2}+1\right)},$

daher ist

${}e^{\ln {\left(t^{2}+1\right)}}=t^{2}+1\,$

eine Lösung der homogenen Differentialgleichung.

b) Wir bestimmen gemäß dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen eine Stammfunktion zu

${}{\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}={\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}-{\frac {1}{t^{2}+1}}=1-{\frac {1}{t^{2}+1}}\,.$

Eine solche ist

$t-\arctan t.$

Daher ist

${}{\left(t-\arctan t\right)}{\left(t^{2}+1\right)}=t^{3}+t-t^{2}\arctan t-\arctan t\,$

eine Lösung der Differentialgleichung.

Zur gelösten Aufgabe