Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel

Von einer unbekannten Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sei der Datensatz ${}(1,11),\,(4,20),\,(6,23)$ gegeben und es sei bekannt, dass ${}f$ eine affin-lineare Funktion sein muss. Der Datensatz beruht auf Messungen, in denen Fehler und Ungenauigkeiten vorkommen können, die drei Punkte liegen also nicht wirklich auf einer Geraden. Es wird nach der affin-linearen Funktion ${}ax+b$ gesucht, die gut zu den Daten passt. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b)\longmapsto (a+b,4a+b,6a+b),$

die einem Parameterpaar ${}(a,b)$, das die affin-lineare Funktion ${}ax+b$ repräsentiert, die Auswertung an den drei Punkten ${}(1,4,6)$ zuordnet. Dabei ist ${}\Psi$ eine injektive lineare Abbildung und das Bild  ${}U=\operatorname {bild} \varphi$  ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{3}$. Diese Ebene steht senkrecht zum Vektor ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}$, eine Basis ist durch ${}{\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}$ gegeben (die unter ${}\Psi$ von der Basis ${}{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$ herrührt). Die optimale Approximation (im Sinne der euklidischen Norm bzw. im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate) ist die orthogonale Projektion des Wertetupels ${}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}$ auf die Ebene. Dies führt zum linearen Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}=\alpha {\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+\beta {\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}+\gamma {\begin{pmatrix}-2\\5\\-3\end{pmatrix}}\,$

mit den Lösungen  ${}\alpha ={\frac {218}{95}}$,   ${}\beta ={\frac {901}{190}}$  und  ${}\gamma ={\frac {9}{38}}$.  Daher ist

${}p_{U}{\begin{pmatrix}11\\20\\23\end{pmatrix}}={\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}2180\\3575\\4505\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}436\\715\\901\end{pmatrix}}\,.$

Der entsprechende Punkt auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist

${}{\frac {218}{95}}{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}+{\frac {901}{190}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}-436+901\\2616-901\end{pmatrix}}={\frac {1}{190}}{\begin{pmatrix}465\\1715\end{pmatrix}}={\frac {1}{38}}{\begin{pmatrix}93\\343\end{pmatrix}}\,.$

Die beste Approximation ist also

${}f(x)={\frac {93}{38}}x+{\frac {343}{38}}\,.$

Es ist  ${}f(1)={\frac {436}{38}}\sim 11,473$,   ${}f(4)={\frac {715}{38}}\sim 18,815$  und  ${}f(6)={\frac {901}{38}}\sim 23,710$.