Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine lineare Gleichung über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}a_{1}\neq 0$.

Dann steht die Lösungsmenge ${}L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum ${}K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen

$L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

und

$K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen